Calcule a divergência e o rotacional do campo vec u (x , y , z) = x y z (hat i + hat j + hat k) .

Passo 1

Eai pessoal, tudo bom?

Nesse exercício devemos calcular mais uma vez a divergência e o rotacional de um campo vetorial. Para isso, vamos escrever as componentes de vec u :

u_x = u_y = u_z = x y z

O divergente é dado por

grad * vec u = (del u_x)/(del x) + (del u_y)/(del y) + (del u_z)/(del z)

Assim,

grad * vec u = y z + x z + x y

Passo 2

Para o rotacional, escrevemos

grad xx vec u = |[[hat i,hat j,hat k],[del_x,del_y,del_z],[x,y,z,x,y,z,x,y,z]]|

grad xx vec u = ((del)/(del y) (x y z) - (del)/(del z) (x y z)) hat i + ((del)/(del z) (x y z) - (del)/(del x) (x y z)) hat j + ((del)/(del x) (x y z) - (del)/(del y) (x y z)) hat k

Portanto,

grad xx vec u = (x z - x y) hat i + (x y - y z) hat k + (y z - x z) hat k

Com isso fechamos o problema 😊.

Resposta

grad * vec u = y z + x z + x y

grad xx vec u = (x z - x y) hat i + (x y - y z) hat k + (y z - x z) hat k

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