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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 24.Exercícios e Problemas - Ex. 5

Calcule a divergência e o rotacional do campo complexo E → x ,   y ,   z = E → 0   e i   k → ⋅ r → , onde E → 0 e k → são vetores constantes.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

O exercício forneceu para gente um campo vetorial

E → x ,   y ,   z = E → 0   e i   k → ⋅ r →

Vale a pena lembrar que r → é o vetor posição. No exemplo 24.1 do livro, foi deduzido

∇ ⋅ r → = 3

Já no exemplo 24.3, foi mostrado que

∇ × r →

Vamos precisar também de algumas identidades vetoriais. A primeira é o divergente de um campo escalar f multiplicado por um vetor A → :

∇ ⋅ f A → = f   ∇ ⋅ A → + A → ⋅ ∇ f

Usando f = e i   k → ⋅ r → e A → = E → 0 , temos que

∇ ⋅ E → = e i   k → ⋅ r → ∇ ⋅ E → 0 + E → 0 ⋅ ∇ e i   k → ⋅ r →

Como E → 0 é uma constante, segue que ∇ ⋅ E → 0 = 0 , de modo que

∇ ⋅ E → = E → 0 ⋅ ∇ e i   k → ⋅ r →

Passo 2

Para calcular o termo ∇ e i   k → ⋅ r → vamos passar para coordenadas cartesianas:

k → ⋅ r → = k x x + k y y + k z z

Além disso:

∇ e i   k → ⋅ r → = ∂ ∂ x e i   k → ⋅ r → i ^ + ∂ ∂ y e i   k → ⋅ r → j ^ + ∂ ∂ z e i   k → ⋅ r → k ^

Observe que

∂ ∂ x e i   k → ⋅ r → = ∂ ∂ x e i k x x + k y y + k z z = e i   k x x + k y y + k z z ⋅ ∂ ∂ x i k x x + k y y + k z z

Logo,

∂ ∂ x e i   k → ⋅ r → = i k x   e i   k → ⋅ r →

Analogamente, temos

∂ ∂ y e i   k → ⋅ r → = i k y   e i   k → ⋅ r →

∂ ∂ z e i   k → ⋅ r → = i k z   e i   k → ⋅ r →

Portanto,

∇ e i   k → ⋅ r → = i k x i ^ + k y j ^ + k z k ^ e i   k → ⋅ r → = i   k →   e i   k → ⋅ r →

Desta forma, temos que

∇ ⋅ E → = E → 0 ⋅ ∇ e i   k → ⋅ r → = E → 0 ⋅ i   k →   e i   k → ⋅ r →

Com isso, chegamos na expressão:

∇ ⋅ E → = i   E → 0 ⋅ k →   e i   k → ⋅ r →

Passo 3

Agora vamos olhar para o rotacional e usar a identidade

∇ × f A → = f ∇ × A → - A → × ∇ f

Chamando f = e i   k → ⋅ r → e A → = E → 0 , segue que

∇ × A → = 0 →               e           ∇ f = ∇ e i   k → ⋅ r → = i   k →   e i   k → ⋅ r →

A última relação foi deduzida no passo 2. Assim,

∇ × E → 0 e i   k → ⋅ r → = - E → 0 × i   k →   e i   k → ⋅ r →

Portanto,

∇ × E → = i   k → × E → 0   e i   k → ⋅ r →

Ufa, foi um pouco complicadinho mas fechamos o problema!

Resposta

∇ ⋅ E → = i   E → 0 ⋅ k →   e i   k → ⋅ r →

∇ × E → = i   k → × E → 0   e i   k → ⋅ r →

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