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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 24.Exercícios e Problemas - Ex. 6

Sendo f r → e V → r → , respectivamente, um campo escalar e um campo vetorial, mostre que

∇ ⋅ f V → = f   ∇ ⋅ V → + V → ⋅ ∇ f

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

No exercício anterior nós usamos essa identidade e agora temos que mostrá-la. Para isso, vamos usar coordenadas cartesianas. Com isso, podemos escrever

f r → = f x ,   y ,   z

V r → = V x   i ^ + V y   j ^ + V z   k ^

Com isso,

f V → = f V x   i ^ + f V y   j ^ + f   V z   k ^

Daí tomamos a divergência:

∇ ⋅ f V → = ∂ ∂ x f V x + ∂ ∂ y f V y + ∂ ∂ z f V z

Passo 2

Observe que

∂ ∂ x f V x = ∂ f ∂ x V x + f ∂ V x ∂ x

Analogamente,

∂ ∂ y f V y = ∂ f ∂ y V y + f ∂ V y ∂ y

∂ ∂ z f V z = ∂ f ∂ z V z + f ∂ V z ∂ z

Portanto,

∇ ⋅ f V → = f ∂ V x ∂ x + f ∂ V y ∂ y + f ∂ V z ∂ z + ∂ f ∂ x V x + ∂ f ∂ y V y + ∂ f ∂ z V z

Agora vem o pulo do gato: perceba que podemos juntar os três primeiros termos:

f ∂ V x ∂ x + f ∂ V y ∂ y + f ∂ V z ∂ z = f ∂ V x ∂ x + ∂ V y ∂ y + ∂ V z ∂ z = f   ∇ ⋅ V →

Já os três últimos termos podem ser escritos como

∂ f ∂ x V x + ∂ f ∂ y V y + ∂ f ∂ z V z = V → ⋅ ∇ f

Com isso, achamos que

∇ ⋅ f V → = f   ∇ ⋅ V → + V → ⋅ ∇ f

Essa era a expressão que o exercício pedia para você mostrar!

Resposta

Demonstração.

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