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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 9.1 - Ex. 66

Calcule a energia cinética da Terra, associada à rotação em torno de seu eixo, e compare sua resposta com a energia cinética do movimento orbital do centro de massa da Terra em torno do Sol. Suponha a Terra uma esfera homogênea de 6,0 × 10 24 k g de massa e 6,4 × 10 6 m de raio. O raio da órbita terrestre é 1,5 × 10 11 m .

Passo 1

Primeiro vamos pensar na rotação da Terra ao redor de seu eixo. Concorda comigo que a Terra pode ser considerada como uma esfera perfeita? Então podemos calcular seu momento de inércia como I = 2 5 M R 2 , e aí a energia cinética da rotação vai ser K = 1 2 I ω 2 = M R 2 ω 2 5 .

ω = Δ θ Δ t = 2 π   r a d 1   d i a = 2 π 24 h × 3600 s h = 7.27 × 10 - 5 r a d s

I = 2 5 M R 2 = 2 5 6.0 × 10 24 6.4 × 10 6 2 = 9.83 × 10 37   k g ⋅ m 2

K r o t a ç ã o = 1 2 9.83 × 10 37 7.27 × 10 - 5 2 = 2.6 × 10 29 J

Passo 2

Agora vamos pensar na órbita da Terra ao redor do Sol:

A Terra agora é como um ponto, se considerarmos a distância entre os dois. O momento de inércia de um ponto é I = m r 2 .

ω = Δ θ Δ t = 2 π   r a d 1   a n o = 2 π   r a d 365 d i a s × 24 h d i a × 3600 s h = 1.99 × 10 - 7 r a d s

I = 6 × 10 24 × 1.50 × 10 11 2 = 1.35 × 10 47   k g ⋅ m 2

K o r b i t a = 1 2 I ω 2 = 1 2 1.35 × 10 47 1.99 × 10 - 7 2 = 2.68 × 10 33 J

Passo 3

Comparando as duas energias:

K o r b i t a K r o t a ç ã o = 2.68 × 10 33 2.6 × 10 29 ≅ 4

Resposta

K r o t a ç ã o = 2.6 × 10 29 J

K o r b i t a K r o t a ç ã o = 4

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