Enunciado

Calcule:

a) a força F x exercida sobre o bloco dielétrico da Figura 18.21, sabendo-se que suas grandes faces e as placas do capacitor são quadrados de lado L ;

b) Calcule o valor numérico de F para x = 5,0   c m , L = 10   c m , d = 1,0   c m , κ = 100 e Q = 0,10   m C .

Passo 1

No exercício anterior nós achamos a expressão para a capacitância do sistema em função de x :

C x = ϵ 0 A d ⋅ 1 + κ - 1 L x

Como A = L 2 , temos que

C x = ϵ 0 L 2 d ⋅ 1 + κ - 1 L x

Como a carga entre os capacitores é constante, vamos usar a seguinte expressão para a energia potencial do sistema

U = Q 2 2 C

A força será dada por

F x = - d U d x = - - Q 2 2 C 2 ⋅ d C d x

Ou ainda,

F x = Q 2 2 C 2 d C d x

Passo 2

Derivando a expressão da capacitância:

d C d x = ϵ 0 L 2 d ⋅ κ - 1 L = ϵ 0 L κ - 1 d

Assim,

F x = Q 2 2 C 2 ⋅ ϵ 0 L κ - 1 d

Substituindo a expressão da capacitância:

F x = Q 2 2 ⋅ ϵ 0 2 L 4 d 2 1 + κ - 1 L x 2 ⋅ ϵ 0 L κ - 1 d

Portanto,

F x = Q 2 κ - 1 d 2 ϵ 0 L 3 1 + κ - 1 L x 2

Ou ainda,

F x = Q 2 κ - 1 d 2 ϵ 0 L L + κ - 1 x 2

Passo 3

Substituindo os valores:

F = 0,10 ⋅ 10 - 3 2 ⋅ 100 - 1 ⋅ 1,0 ⋅ 10 - 2 2 ⋅ 8,85 ⋅ 10 - 12 ⋅ 10 ⋅ 10 - 2 10 ⋅ 10 - 2 + 100 - 1 ⋅ 5,0 ⋅ 10 - 2 2

F = 10 - 8 ⋅ 99 ⋅ 10 - 2 17,7 ⋅ 10 - 13 ⋅ 5,05 2 = 0,22 ⋅ 10 3

Portanto,

F = 2,2 ⋅ 10 2   N

Resposta

F x = Q 2 κ - 1 d 2 ϵ 0 L L + κ - 1 x 2

F = 2,2 ⋅ 10 2   N

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