Enunciado
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica- Ed: 2º - Capítulo 4.Outros Problemas - Ex. Problema 4.40b
Calcule os valores esperados da energia cinética e da energia potencial nos estado fundamental do átomo de hidrogênio, e verifique que satisfazem ao teorema do virial: .
Passo 1
Na seção 10.5, encontramos a função de onda para o estado fundamental do átomo de hidrogênio:
Com isso, a densidade de probabilidade é dada por
Para achar o valor esperado de qualquer função de , temos que integar sobre todo o espaço:
Usando coordenadas esféricas, temos que
O potencial é dado por
Assim,
Passo 2
No nosso problema, :
Logo,
Vamos usar a integral tabelada:
Nesse caso, temos e :
Logo,
Portanto,
Passo 3
E para a energia cinética? Sabemos que o operador energia cinética é dado por
Lembre-se que aqui, é o operador laplaciano, que em muitos livros é representado por . Com isso,
Mas sabemos que
Mas como mostrado na equação 10.112:
Sabemos que
Assim,
Da mesma forma,
Portanto,
Ou ainda,
Passo 4
Com isso,
Logo,
Antes de fazermos a integral, temos que
Logo,
Agora podemos olhar para a integral:
Vamos usar novamente a fórmula
Com e :
Com :
Assim,
Com isso,
Portanto,
Note que