19 – Com o teorema do virial, determine uma expressão para a relação entre a energia cinética média e a energia potencial média do elétron num átomo de hidrogênio.

Passo 1

Vamos relembrar o teorema do virial.

O teorema do virial, segundo ao que está escrito no Atkins, diz que se a energia potencial de uma partícula tiver a forma V = axb, então a energia potencial média e a energia cinética média estão relacionadas pela seguinte relação matemática:

2 E K = b V             E q 1

Onde,

- E K , é a energia cinética média;

- V é a energia potencial média;

-b é uma constante de associada a potência da posição x do elétron, conforme a equação da energia potencial

V = a x b

Passo 2

Então, com a Eq1, você vai encontrar a relação entre energia potencial e energia cinética, mas precisará encontrar o valor da constante b.

Para isso, vamos pegar a expressão para a energia potencial do elétron

Lembrando que energia potencial, temos que a equação da energia potencial é a seguinte:

V = - e 2 4 π ε 0 1 r

Onde,

-e é carga do elétron;

-ε0 é a permissividade do vácuo;

-r é a distância entre os elétrons;

Pegando a relação geral da equação da energia potencial:

V = α x b

Igualando as duas:

V = - e 2 4 π ε 0 1 r = α x b

Aqui para esse caso x = r, pois se tratam da posição do elétron, assim

- e 2 4 π ε 0 1 r = α r b

Sendo,

α = - e 2 4 π ε 0

Então,

r b = 1 r

Passo 3

Vamos resolver a equação anterior em termos de b, ou seja, vamos isolar b:

r b r = 1

r b + 1 = 1

Das propriedades de potenciação podemos escrever

r b + 1 = 1 0

Assim,

b + 1 = 0

Logo,

b = - 1

Passo 4

Voltando a Eq1, temos que

2 E K = b V            

Assim,

2 E K = - V

E K = - 1 2 V

Resposta

E K = - 1 2 V

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