Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas Teóricos - Ex. 22

Calcule (a) a energia potencial média e (b) a energia cinética média de um elétron no estado fundamental de um átomo hidrogenóide.

Passo 1

Opaaaaa, gente!!! Tudo bem? Então vamos começar mais um exercício boladão de quântica juntinhos?

ψ = 1 π a 0 3 1 2 e - r a 0

Passo 2

(a)

< V >   =   ∫ ψ * V ^   ψ   d τ     V ^ = - e 2 4 π ϵ 0 r

< V >   =   ∫ ψ * - e 2 4 π ϵ 0 1 r   ψ   d τ = 1 π a 0 3 - e 2 4 π ϵ 0 ∫ 0 ∞ r e - 2 r a 0 d r

< V >   = 1 π a 0 3 - e 2 4 π ϵ 0 × a 0 2 2 × 4 π = - e 2 4 π ϵ 0 a 0

Passo 3

(b) Para um sistema 3D como o átomo de hidrogênio, o operador energia cinética é:

T ^ = ℏ 2 2 m e ∇ 2   m e ≈ μ   p a r a   o   á t o m o   d e   h i d r o g ê n i o

∇ 2 = ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r + 1 r 2 Λ 2 = 1 r × ∂ 2 ∂ r 2 r + 1 r 2 Λ 2

Λ 2 ψ = 0   [ ψ   n ã o   t e m   c o o r d e n a d a s   a n g u l a r ]

Passo 4

∇ 2 ψ = 1 π a 0 3 1 2 × 1 r × d 2 d r 2 r e - r a 0

= 1 π a 0 3 1 2 × - 2 a 0 r + 1 a 0 2 e - r a 0

Portanto,

< T >   =  

- ℏ 2 2 m e × 1 π a 0 3 ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π s e n θ   d θ   ∫ 0 π s e n θ d θ ∫ 0 ∞ - 2 a 0 r + 1 a 0 2 e - 2 r a 0 r 2 d r

= - 2 ℏ m e a 0 3 ∫ 0 ∞ 2 r a 0 + r 2 a 0 2 e - 2 r a 0 d r

= - 2 ℏ 2 m e a 0 3 × - a 0 4 ∫ 0 ∞ x n e - a x d x = n ! a n + 1 = ℏ 2 2 m e a 0 2

Inserindo na nossa equação a 0 = 4 π ϵ 0 ℏ 2 / m e e 2

< T >   = e 2 8 π ϵ 0 a 0 = - 1 2 < V >

Resposta

< T >   = e 2 8 π ϵ 0 a 0 = - 1 2 < V >

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Qual é o trabalho necessário para serarar o elétron e o próton de um átomo de hidrogênio se o átomo se encontra inicialmente em (a) no estado fundamental; (b) no estanho n=2?
19 – Com o teorema do virial, determine uma expressão para a relação entre a energia cinética média e a energia potencial média do elétron num átomo de hidrogênio.
A molécula de HCl é bem descrita pelo potencial de Morse com D=5,33eV e V = 2989,7 cm-1 e x*v= 52,05 cm-1. Admitindo que o potencial seja inalterado pela substituição do hidrogénio pelo deutério, esti
17 – A energia potencial da rotação de um grupo CH3 em relação ao seu vizinho no etano pode ser expressa como V φ = V 0 cos ⁡ 3 φ Mostre que para pequenos deslocamentos o movimento do grupo é harmônic