Uma partícula de massa m tem uma função de onda dada por ψ x = A e - x a , onde A e a são constantes positivas. (a) Encontre a constante de normalização A. (b) Calcule a probabilidade de encontrar a partícula na região –a ≤ x ≤ a.

Passo 1

(a) Para encontrar a constante, podemos usar a característica principal da função de densidade de probabilidade:

∫ - ∞ + ∞ ψ 2 x d x = 1

Assim:

∫ - ∞ + ∞ A e - x a 2 d x = 1

∫ - ∞ + ∞ A 2 e - 2 x a d x = 1

Temos um pulo do gato aqui. Temos que perceber que, se temos um menos na frente do módulo de um número, o resultado sempre será negativo, não importa o valor de x , ou seja, - x ≤ 0 .

Com isso, se pegamos valores de x ( - ∞ , 0 ] , a integral será igual aos valores dentro de ( 0 , + ∞ ) . É só lembrar do gráfico da função módulo:

Para valores positivos e negativos de x , a área embaixo da função será igual!! Logo, a integral também. O mesmo vai acontecer para a nossa integral ali em cima, tá? Então, podemos dizer que a integral toda é uma soma da integral da função com valores negativos com a integral dos valores postivos:

∫ - ∞ + ∞ A 2 e - 2 x a d x = ∫ - ∞ 0 A 2 e - 2 ( - x ) a d x + ∫ 0 + ∞ A 2 e - 2 x a d x

Como essas integrais são iguais:

∫ - ∞ + ∞ A 2 e - 2 x a d x = 2 ∫ 0 + ∞ A 2 e - 2 x a d x

Assim, podemos arrumar:

2 A 2 ∫ 0 + ∞ e - 2 x a d x = 1

E essa integral é tabelada:

∫ 0 + ∞ e - α x d x = 1 α

No nosso caso α = 2 a :

2 A 2 1 2 a = 1

2 A 2 a 2 = 1

Isolando A :

2 A 2 = 2 a

A 2 = 1 a

A = 1 a

Passo 2

(b) Então, temos que:

ψ x = 1 a e - x a

E a probabilidade que queremos será:

P = ∫ - a a ψ 2 x d x

P = ∫ - a a 1 a e - 2 x a d x

Pelo mesmo raciocínio da letra anterior:

∫ - a a 1 a e - 2 x a d x = 2 ∫ 0 a 1 a e - 2 x a d x

Então: P = 2 a ∫ 0 a e - 2 x a d x

Resolvendo a integral:

P = 2 a - a 2 e - 2 x a 0 a

P = 2 a - a 2 e - 2 + a 2 e 0

P = 2 a a 2 1 - e - 2

P = 1 - e - 2

P = 0,865

Resposta

(a) A = 1 a

(b) P = 0,865

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