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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 3- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 14

Uma camada infinita carregada compreendida entre os planos y = - a e y = a (fig.) tem densidade columétrica de carga ρ constante. Não há cargas fora dela.

  1. Calcule o campo elétrico E → dentro, acima e abaixo da camada;
  2. Verifique se E →   satisfaz a equação de Poisson.

Passo 1

Se liga! Para verificar o campo dentro da camada podemos utilizar uma superfície gaussiana para simetria esférica. Veja a figura.

Agora precisamos lembrar da nossa famosa lei de Gauus

ϕ s = ∮ E d A = E A = q i n t ϵ 0

Lembra que a densidade é a carga sobre o volume?

ρ = q i n t 4 3 π r 3 ⇒ q i n t = 4 3 π ρ r 3

E qual é a área de interesse? Sim a área correspondente a superfície da nossa esfera de raio r

A = 4 π r 2

Passo 2

Então, agora só precisamos retornar para nossa expressão e substituir os q i n t e A

E = ρ r 3 ϵ 0

Levando em consideração que o campo aponta para fora da esfera na direção radial, temos

E → = ρ r 3 ϵ 0   r ^

Passo 3

Para saber o campo fora, teremos que adotar um outro tipo de simetria, agora usaremos um cilindro. Se liga como vai ficar

Podemos novamente usar a lei de Gauss

ϕ s = ∮ E d A = E A = q i n t ϵ 0

Agora a área de interesse é a superfície lateral do cilindro

A = 2 π r   Δ y

E a carga vai ser a carga dentro cilindro

q i n t = ρ π r 2 2 a

Assim o campo fora fica

E → =   ρ a ϵ 0 Δ z r ^

Passo 4

Pela equação de Poisson, temos

d i v   E → = ρ ϵ 0

Vamos verificar para o campo dentro

d i v   E → = lim Δ V → 0 ⁡ 1 Δ V ∮ E d A = l i m Δ V → 0 ρ r 4 π r 2 3 ϵ o 4 3 π r 3 = ρ ϵ 0

Vimos que para a parte de dentro é satisfaz!

Passo 5

Para a parte de fora faremos do mesmo jeito, basta trocar o campo! Beleza?!

d i v   E → = lim Δ V → 0 ⁡ 1 Δ V ∮ E d A = l i m Δ V → 0 ρ a r 2 π r Δ z ϵ o Δ z π r 2 2 a = ρ ϵ 0

Ou seja, também satisfaz!

Resposta

a )         E → = ρ r 3 ϵ 0   r ^     d e n t r o ;   E → =   ρ a ϵ 0 Δ z r ^     ( f o r a )

b )       S a t i s f a z

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