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Enunciado

Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 29.Exercícios e Problemas - Ex. 71

Um capacitor de 1.0 uF com uma energia inicial armazenada de 0.50 J é descarregado através dc um resistor dc 1.0 MΩ. (a) Qual é a carga inicial do capacitor? (b) Qual é a corrente através do resistor no instante em que a descarga se inicia? (c) Determine Vc, a diferença de potencial através do capacitor e Vr a diferença de potencial através do resistor, como funções do tempo. (d) Expresse a taxa de produção de energia térmica no resistor em função do tempo.

Passo 1

Fala galera, bora lá!

(a) A energia armazenada num capacitor é

U C = q 0 2 2 C

onde C é a capacitância e q 0 é a carga inicial na placa. Portanto

q 0 = 2 C U C = 2 1,0 × 10 - 6 0,5

q 0 = 1,0 × 10 - 3   C = 1,0   m C

Passo 2

(b) A carga em função do tempo é

q = q 0 e - t / τ

onde τ é a constante de tempo. A corrente é a derivada da carga em relação ao tempo:

i = - d q d t = q 0 τ e - t / τ

O sinal negativo é necessário, pois a corrente de descarga flui no sentido oposto ao sentido da corrente que fluiu durante o processo de carga. A corrente inicial é dada pela expressão acima no instante t = 0 : i 0 = q 0 / τ . A constante de tempo é

τ = R C = ( 1,0 × 10 - 6 ) ( 1,0 × 10 6 )

τ = 1   s

Portanto

i 0 = 1,0 × 10 - 3 1 = 1   m A

Passo 3

(c) Substitua q = q 0 e - t / τ em V C = q / C obtendo então

V C t = q 0 e - t τ C

V C t = 1,0 × 10 3   e - t   V

onde t é medido em segundos.

Substitua i = q 0 / τ e - t / τ em V R = i R , obtendo

V r t = q 0 R τ e - t / τ

V r t = 1,0 × 10 3 e - t   V

Passo 4

(d) Substitua i = q 0 / τ e - t / τ em P = i 2 R , obtendo

P t = q 0 2 R τ 2 e - t / τ

P t = 1 e - t   W

Resposta

  1. q 0 = 1,0   m C
  2. i 0 = 1   m A
  3. V r t = 1,0 × 10 3 e - t   V
  4. P t = 1 e - t   W

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