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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 24.1 - Ex. 86

Um capacitor esférico consiste em uma esfera condutora sólida de raio a e carga + Q , e uma casca esférica condutora e concêntrica que tem um raio interno b e uma carga - Q . O espaço entre as duas é preenchido com dois dielétricos diferentes de constantes dielétricas κ 1 e κ 2 . A interface entre os dois dielétricos ocorre uma distância 1 2 a + b do centro. (a) Calcule o campo elétrico nas regiões a < r < 1 2 a + b e 1 2 a + b < r < b . (b) Integre a expressão d V = - E ⋅ d l para obter a diferença de potencial V entre os dois condutores. (c) Use C = Q / V para obter uma expressão para a capacitância deste sistema. (d) Mostre que sua reposta para a parte (c) simplifica-se para o valor esperando se κ 1 é igual a κ 2 .

Passo 1

Fala, galera, tudo bom? Veja a figura a seguir:

O campo elétrico (sem os dielétricos) é:

E 0 = k Q r 2

Lembre-se que, quando colocamos um dielétrico de constante κ , o campo elétrico cai por um fator κ .

  1. Dessa forma, temos

    2. E 1 = E 0 κ 1 = k Q κ 1 r 2 E 2 = E 0 κ 2 = k Q κ 2 r 2

  2. Temos que

    3. V = V 1 - V 2 V = - ∫ a 1 2 a + b E 1   d r - - ∫ 1 2 a + b b E 2   d r V = - - k Q κ 1 r a 1 2 a + b + - k Q κ 2 r 1 2 a + b b V = k Q κ 1 2 a + b - 1 a + k Q κ 2 1 b - 2 a + b V = k Q b - a a + b ⋅ κ 1 a + κ 2 b κ 1 κ 2 a b

  3. Pela definição, segue

    4. C = Q V = Q k Q a - b a + b κ 1 a + κ 2 b κ 1 κ 2 a b C = κ 1 κ 2 a b a + b k b - a κ 1 a + κ 2 b

    Passo 2

  4. Agora, basta colocar κ 1 = κ 2 = κ , temos que

C = κ 2 a b a + b k b - a κ a + b C = κ a b k b - a

Resposta

  1. k Q / κ 1 r 2 , k Q / κ 2 r 2
  2. k Q b - a a + b ⋅ κ 1 a + κ 2 b κ 1 κ 2 a b
  3. κ 1 κ 2 a b a + b k b - a κ 1 a + κ 2 b
  4. κ a b k b - a
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