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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 24.1 - Ex. 10

Os capacitores A e B (Figura 24-33) têm placas com áreas e separações idênticas. O espaço entre as placas de cada capacitor está preenchido pela metade com um dielétrico, como mostrado. Qual tem a maior capacitância, o capacitor A ou o B ? Explique sua resposta.

Passo 1

Fala aí galera, tudo beleza? Essa questão trata de associação de dielétricos. Notemos que esses dois capacitores poderão ser montados como o esquema a seguir:

  • Capacitor (a)

    • Ou seja, temos dois capacitores em paralelo, um com capacitância C 0 e outro com capacitância κ C 0 , onde

    C 0 = ε 0 A / 2 d = ε 0 A 2 d

    Sendo os capacitores ligados em paralelo, a capacitância equivalente será:

    C = C 0 + κ C 0 = κ + 1 C 0 C = ε 0 A d κ + 1 2

  • Capacitor (b)

Nesse caso, temos dois capacitores em série. Um terá capacitância C 0 e outro κ C 0 , onde

C 0 = ε 0 A d / 2 = 2 ε 0 A d

Sendo a capacitância em série, temos que

1 C = 1 C 0 + 1 κ C 0 = 1 C 0 κ + 1 κ C = C 0 κ κ + 1 = ε 0 A d 2 κ κ + 1

Passo 2

Agora, tendo as expressões em mãos, vamos ver qual é maior. Veja:

ε 0 A d κ + 1 2 > ε 0 A d 2 κ κ + 1 κ + 1 2 > 4 κ ⟹ κ 2 + 2 κ + 1 > 4 κ κ 2 - 2 κ + 1 > 0 ⟹ κ - 1 2 > 0

o que é verdadeiro, já que qualquer número ao quadrado é sempre positivo (obviamente, temos κ ≠ 1 ).

Resposta

Em (a) a capacitância é maior.

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