Enunciado
Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 26.Exercícios e Problemas - Ex. 13
Uma carga está uniformemente distribuída através de um volume esférico de raio . (a) Fazendo no infinito, mostre que o potencial a uma distância do centro, onde , é dado por
(Sugestão: Ver o Exemplo 25-7) (b) Por que este resultado difere daquele do item (a) do Problema 11? (c) Qual é a diferença de potencial entre um ponto da superfície e o centro da esfera? (d) Por que esse resultado não difere daquele do item (h) do Problema 11?
Passo 1
(a) Fora da distribuição de cargas a magnitude do campo elétrico é
e o potencial é
onde é a distância a partir do centro da distribuição de cargas. Dentro da distribuição, usamos uma superfície Gaussiana esférica de raio concêntrica com a distribuição de cargas. O campo é normal à superfície e sua magnitude e uniforme sobre ela, de modo que o fluxo através da superfície é . A carga dentro da Gaussiana é
Com isto, a lei de Gauss fornece-nos
que, simplificando, mostra ser o campo fora da Gaussiana dado por
Se chamarmos de o potencial sobre a superfície da distribuição de cargas, então o potencial num ponto interno localizado a uma distância do centro será
O valor de pode ser encontrado colocando-se na expressão do potencial em pontos fora da distribuição de cargas, o que fornece-nos
Portanto,
Passo 2
(b) No Problema 11 o potencial elétrico foi tomado como sendo zero no centro da esfera enquanto que aqui, o zero esta no infinito. De acordo com a expressão derivada na parte (1), o potencial no centro da esfera é
Portanto,
que é o resultado encontrado no Problema 11.
Passo 3
A diferença de potencial é
Este valor o mesmo dado pela expressão obtida no Problema 11, como não poderia deixar de ser.
Passo 4
(d) Moral da historia toda: apenas as diferenças de potencial tem significado físico, não importando qual o valor do potencial num só ponto. Analogamente ao caso gravitacional, mudar-se o ponto de referencia de lugar não altera as diferenças de potencial.