Uma casca esférica espessa de carga e densidade volumétrica de carga uniforme está limitada pelos raios , e , onde . Com no infinito, determine o potencial elétrico em função da distância ao centro da distribuição, considerando as regiões (a) (b) e (c) (d) Estas soluções concordam em e ? (Sugestão: Ver o Exemplo 25-7).

(b) Para determinar o potencial no intervalo usamos a lei de Gauss para calcular o campo elétrico, integrando-o posteriormente ao longo de uma trajetória radial, de até . A melhor Gaussiana e uma superfície esférica concêntrica com a casca em questão. O campo é radial, normal a superfície, com magnitude uniforme sobre a superfície, de modo que o fluxo através da superfície é

O volume da casca é , de modo que e a densidade de carga é

Assim, a carga englobada pela Gaussiana de raio é

A lei de Gauss fornece-nos

donde obtemos a magnitude do campo elétrico:

Sendo o potencial elétrico na superfície externa da casca então o potencial a uma distância do centro e dado por

O valor da constante na superfície externa e encontrado substituindo-se na expressão para o potencial que foi determinada no item (a) acima, ou seja, . Substituindo-se este valor na expressão acima e simplificando-a, obtemos

Como , o potencial pode ser escrito de uma maneira mais simples e elegante como

(c) O campo elétrico anula-se na cavidade, de modo que o potencial será sempre o mesmo em qualquer ponto da cavidade, tendo o mesmo valor que o potencial de um ponto qualquer sobre a superfície interna da casca. Escolhendo-se no resultado do item (b) e simplificando, encontramos

(d) As soluções concordam para e para .