Enunciado

Uma carroça com massa total de 300   k g com duas caixas de ouro estava em repouso no alto de uma ladeira com inclinação de 6,0 ° e a uma distância de 50   m da base (Figura 8.50 ). Um bandido a separa dos cavalos que a puxavam, planejando fazer a carroça rolar ladeira abaixo e continuar se deslocando no terreno horizontal até cair em uma ribanceira, no fundo da qual os outros bandidos da quadrilha esperavam. Porém, Zorro (massa 75,0   k g ) e Tonto (massa 60,0   k g ) aguardavam no alto de uma árvore situada a uma distância de 40   m da ribanceira. Eles saltaram verticalmente sobre a carroça no instante em que ela passava embaixo da árvore. a) Sabendo que dispunham de apenas 5,0   s para pegar o ouro e pular da carroça antes que ela caísse na ribanceira, teriam eles conseguido realizar a tarefa? Despreze o atrito de rolamento. b) Quando os dois heróis pulam para o interior da carroça, a energia cinética do sistema carroça mais heróis é conservada? Caso não seja conservada, em quanto ela aumenta ou diminui?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente analisar se os dois homens conseguiriam pular na carroça a tempo e determinar a energia cinética do sistema.

O problema consiste em uma carroça se deslocando com uma velocidade inicial e que terá sua massa aumentada em um momento especifico. Então, para resolvermos usaremos conservação de energia mecânica para dois pontos: no topo da ladeira e quando chega no plano horizontal.

Com isso descobriremos a velocidade inicial da carroça e poderemos aplicar conservação de momento para descobrir qual será sua velocidade após duas pessoas caírem na carroça.

Vamos lá!

Passo 2

a) Vamos iniciar definindo a direção + x como sendo para a direita, a carroça como objeto A e as pessoas como B . Tendo isso, precisamos encontrar a velocidade da carroça quando chega no plano horizontal. Podemos usar a conservação de energia nos momentos do topo da ladeira e do fim da ladeira. Temos que a altura da ladeira é dada por:

h = 50   m ⋅ sen ⁡ 6 ° = 5 , 23   m

Assim, temos que por conservação de energia, a relação será:

E i = E f

1 2 ⋅ m ⋅ v i 2 + m ⋅ g ⋅ h i = 1 2 ⋅ m ⋅ v f 2 + m ⋅ g ⋅ h f

Porém, quando a carroça chega no solo sua altura é zero e temos que no topo da ladeira sua velocidade era zero, então nossa equação fica:

m ⋅ g ⋅ h i = 1 2 ⋅ m ⋅ v f 2

E a velocidade final da carroça será dada por:

v f = 2 ⋅ g ⋅ h i

Substituindo os dados, temos:

v f = 2 ⋅ 9 , 8   m / s 2 ⋅ 5 , 23   m

v f = 10 , 2   m / s

Agora temos que no eixo x nenhuma força age, assim podemos aplicar a conservação de momento na forma:

P i x = P f x

m A ⋅ v i A = m A + m B ⋅ V f

Dessa forma, a velocidade final será:

V f = m A ⋅ v i a m A + m B

V f = 300   k g ⋅ 10 , 2   m / s 300   k g + 75   k g + 60   k g

V f = 7 , 03   m / s

Usando a função horaria do movimento, teremos o quanto ele se deslocou nos 5 segundos.

x = x 0 + v ⋅ t

x = 7 , 03   m / s ⋅ 5   s

x = 35 , 17   m

Ou seja, não percorre os 40   metros até o barranco, sobrando tempo para pularem!

Passo 3

b) Vamos calcular a energia cinética da carroça inicialmente.

K = 1 2 ⋅ 300   k g ⋅ 10.2 m s 2

K = 15606   J

Agora, depois de B cair na carroça, temos que sua massa aumentará e sua velocidade diminuirá, então sua energia cinética agora será:

K = 1 2 ⋅ 435   k g ⋅ 7,03 m s 2

K =   10749.04   J

Portanto, a variação total de energia cinética será:

Δ K = 10749 , 04   J - 15606 J

Δ K = - 4856 , 95   J

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. Sim, sobra tempo para pular
  2. Há uma diminuição na energia cinética de - 4856 , 95   J
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