Se uma carta caísse em um túnel que atravessasse toda a Terra, passando pelo centro, qual seria a velocidade da carta ao passar pelo centro?

Vamos começar vendo como a aceleração da gravidada fica quando “entramos” na Terra. (Supondo que ela seja maciça e homogênea pra facilitar):

Pela fórmula para o volume da esfera, podemos escrever a massa específica assim:

Vamos substituir tudo isso na fórmula para

Organizando isso:

Mas a aceleração da gravidade na superfície da Terra é:

Então:

Essa fórmula só vale quando estamos “dentro” da esfera (ou seja, .

Agora vamos usar essa fórmula para achar a força gravitacional em função do raio . Sabemos que:

Substituindo pela fórmula logo acima:

Beleza, agora vamos lembrar que nosso objetivo é achar a velocidade da carta quando chega ao centro da Terra. Pra isso, vamos usar o teorema Trabalho-Energia.

Ele diz que o trabalho realizado é igual à variação de energia cinética, ou seja:

Começando pela integral do trabalho:

Vamos integrar de até .

Agora vamos achar :

Como

Agora a igualdade fica:

E isolando a velocidade:

Pronto!