Calcule o período de oscilação de uma partícula no túnel hipotético através do centro da Terra considerado na Seção 10.9 (c). Com que velocidade a partícula passaria pelo centro da Terra? Compare os resultados com os do problema 2.

Passo 1

Cara, o que a gente tem que saber é o seguinte: quando o corpo vai entrando no planeta, tudo que ficou “acima” não exerce mais atração gravitacional. É como se fosse ser atraído só pela parte que ainda é interna, sacou?

A força de atração gravitacional no corpo é calculada por:

F = - G M - m r 2

Esse M - é a massa dessa parte interna de azul! Ela se relaciona com a massa da esfera toda pelo volume, e portanto, pelo raio!

M - M = V - V = r 3 R 3

M - = M r R 3

Então a força fica:

F = - G M r R 3 m r 2

F = - G M m R 3 r

Passo 2

Achamos uma expressão bem bonita pra força gravitacional! Tá vendo que ela é dessa forma aqui?

F = - k r

Isso aí é uma força conservativa, ou seja, essa parada é um MHS! E como a gente calcula o período do MHS?

T = 2 π m k

Substituindo:

T = 2 π m G M m R 3

T = 2 π R 3 G M

Substituindo os valores do raio e da massa da Terra...

T = 84.3   m i n

Passo 3

Pra acharmos a velocidade no centro da Terra, vamos usar conservação de energia! A energia cinética adquirida é igual ao trabalho realizado pela força gravitacional.

W = ∫ 0 R F g d r = ∫ 0 R m g r R d r = m g R r 2 2 0 R

W = m g R 2

Esse trabalho vai se tornar cinética, como já vimos.

m v 2 2 = m g R 2

v = g R

Substituindo:

v = 7.91 k m s

Resposta

T = 84.3   m i n

v = 7.91 k m s

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