Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 13.Problemas Adicionais - Ex. 86

Com que velocidade uma carta passaria pelo centro da Terra se caísse no túnel do exemplo ?

Imagem do exemplo 13-4:

Passo 1

No exemplo mencionado no enunciado, o livro encontra uma fórmula para a força gravitacional exercida pela Terra quando a massa está a uma distância do centro.

Rapidamente, essa fórmula parte de um resutado importante da gravitação: quando você penetra uma esfera maciça, e está a uma distância do núcelo, toda a massa que está a uma distância maior do que não produz força resultante sobre você.

Então só precisamos considerar a massa da esfera que está “abaixo” de você:

Podemos escrever uma equação para essa massa pensando na densidade e no volume da esfera:

Então:

Vamos chamar todo esse termo constante entre parênteses de :

Passo 2

Beleza, então temos uma força agindo ao longo de uma distância, ou seja, uma força produzindo trabalho.

Para relacionar esse trabalho com a velocidade do corpo que sofre a força, podemos usar o teorema Trabalho-Energia:

Estamos integrando a força quando a distância varia de (o raio da Terra) até . Quando adotamos esse referencial (de que a posição “aumenta” quando nos afastamos do núcleo) somos obrigados a reescrever a nossa força:

Já que a força gravitacional aponta na direção do centro:

Então a velocidade final da carta ao passar pelo centro (), seria:

Passo 3

Agora só falta substituir os valores numéricos para calcular :

A melhor forma de encontrar o valor numérico dessa equação é reescrevendo a fórmula para a aceleração da gravidade na superfície da Terra (que tem um valor numérico conhecido):