Com que velocidade uma carta passaria pelo centro da Terra se caísse no túnel do exemplo 13 - 4 ?

Imagem do exemplo 13-4:

Passo 1

No exemplo mencionado no enunciado, o livro encontra uma fórmula para a força gravitacional exercida pela Terra quando a massa m está a uma distância r do centro.

Rapidamente, essa fórmula parte de um resutado importante da gravitação: quando você penetra uma esfera maciça, e está a uma distância r do núcelo, toda a massa que está a uma distância maior do que r não produz força resultante sobre você.

Então só precisamos considerar a massa M i n t da esfera que está “abaixo” de você:

F = G m M i n t r 2

Podemos escrever uma equação para essa massa pensando na densidade ρ e no volume da esfera:

M i n t = ρ 4 π r 3 3

Então:

F = G m r 2   ρ 4 π r 3 3 = 4 π G m ρ 3 r

Vamos chamar todo esse termo constante entre parênteses de K :

F = K r

Passo 2

Beleza, então temos uma força agindo ao longo de uma distância, ou seja, uma força produzindo trabalho.

Para relacionar esse trabalho com a velocidade do corpo que sofre a força, podemos usar o teorema Trabalho-Energia:

1 2 m v f 2 = ∫ R 0 F   d r

Estamos integrando a força F quando a distância r varia de R (o raio da Terra) até 0 . Quando adotamos esse referencial (de que a posição “aumenta” quando nos afastamos do núcleo) somos obrigados a reescrever a nossa força:

F = - K r

Já que a força gravitacional aponta na direção do centro:

1 2 m v f 2 = ∫ R 0 - K   r   d r

1 2 m v f 2 = - 1 2 K r 2 0 R

1 2 m v f 2 = 1 2 K R 2

Então a velocidade final da carta ao passar pelo centro ( r = 0 ), seria:

v f = K m R

Passo 3

Agora só falta substituir os valores numéricos para calcular v f :

K m = 4 π G m ρ 3 m = 4 π G ρ 3

A melhor forma de encontrar o valor numérico dessa equação é reescrevendo a fórmula para a aceleração da gravidade na superfície da Terra (que tem um valor numérico conhecido):

g = G M R 2 = 9,8   m / s 2

Podemos reescrever a massa em função da denisdade e do volume:

g = G R 2 4 3 π R 3 ρ

g = 4 π G ρ 3   R

Que é quase idêntica à fórmula que escrevemos para a constante K / m :

K m = 4 π G ρ 3 = g R

Então:

v f = g R R = g R

v f = 9,8 6,37.10 6 = 7,9   .   10 3   m / s

Resposta

A carta passaria pelo centro da Terra com 7,9   .   10 3   m / s de velocidade.

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