Para o caso especial de uma partícula se movendo com velocidade u ao longo do eixo y no referencial S, mostre que seu momento e energia no referencial S ′ estão relacionados ao seu momento e energia em S pelas equações de transformação. Compare essas equações com as equações de transformação de Lorentz para x ′, y ′, z ′ e t ′. Observe que as quantidades px, py, pz e E / c se transformam da mesma maneira que x, y, z e ct.

Em qualquer referencial inercial, o momento e a energia são dados por:

E:

Onde é a velocidade da partícula e é o módulo de sua velocidade. As componentes de em são:

Como e :

E:

Substituindo os zeros em e nas relações dadas no enunciado:

E:

Em , as componentes do momento são:

Onde, pelas transformações inversas, temos:

Substituindo e :

Assim, o módulo da velocidade em :

Então, primeiro, vamos verificar que :

Agora, que :

Vamos multiplicar em cima e embaixo por :

Agora, vamos passar para dentro da raiz:

Substituindo :

Como vimos :

Fazendo a multiplicação em cima:

Opaaa, podemos simplificar essa raiz toda e:

Agora, vamos verificar que :

Mutiplicando por :

Arrumando isso aí:

Como e passando para dentro da raiz:

Substituindo :

Já vimos que esse cara aí dentro da raiz simplifica todo, certo?? Então:

Por último, vamos verificar que ou :

Multiplicando em cima e embaixo por :

Como , passando para dentro da raiz e substituindo :

Mais uma vez, esse termo da raiz aparece rs, mas já sabemos que ele se corta:

Vamos lembrar das transformações em e :

E:

Se fizermos para :

E:

De forma semelhante, as transformações de e são:

E:

Ufaaa, acabou!!