Um cilindro circular muito longo, de raio R , está uniformemente carregado, com densidade volumétrica de carga δ .

  1. Por argumentos de simetria (explicando-os), obtenha a direção e o sentido do campo E → num ponto P à distância ρ do eixo do cilindro e sua dependência das cordenadas cilíndricas ( ρ , ϕ , z ).
  2. Calcule E →   num ponto P interno ao cilindro ( 0 < ρ < R )
  3. Esboce o gráfico de E →   em função de ρ .

Passo 1

Se liga! Estamos tratando de uma superfície cinlíndrica! As linhas de campo apontam do eixo que corta o centro dos planos para fora na direção radial. Como o clilindro é muito longo, desconsideramos os efeitos das tampas. Sendo assim, o campo em P indepedende de z e ϕ .

Passo 2

Para o item (b) devemos lembrar que estamos tratando de uma superfície cinlindrica! Então, nada melhor que usar a lei de Gauss. Vamos traçar uma gaussiana cilíndrica de raio ρ .

Como o cilindro é muito longo desconsideramos os efeitos de borda.

Que tal aplicar a lei de Gauss?!

ϕ s =   ∮ E d A = E A = q i n t ϵ 0

onde a área desejada é correspondente a lateral do cilindro

A = 2 π ρ z

e q i n t é a carga dentro da gaussiana

q i n t = δ   π ρ 2 z  

Substituindo q i n t e A podemos escrever o campo como

E = δ   π ρ 2 z 2 π ρ z ϵ 0 = δ ρ 2 ϵ 0

Como ele aponta para fora na direção radial, temos

E → = δ ρ 2 ϵ 0   ρ ^

Passo 3

Para esboçar o gráfico pedíamos, precisamo conhecer como é o campo elétrico para ρ ≥ R . Podemos novamente desenhar uma superfície gaussiana. Se liga no desenho.

Aplicando novamente a lei de Gauss, temos

ϕ s =   ∮ E d A = E A = q i n t ϵ 0

Agora temos que prestar atenção que a área será a da superfície gaussiana

A = 2 π ρ z

mas a carga é a que está contida no cilindro original de raio R e altura z

q i n t = δ π R 2 z

Aplicando essas informações encontramos

E = π R 2 z 2 π ρ z ϵ 0 = R 2 2 ϵ 0 ρ

Passo 4

Só precisamos montar o gráfico do campo em função de ρ .Podemos ver que dentro do cilindro o campo cresce linearmente com ρ .

E → = δ ρ 2 ϵ 0   ρ ^

Já fora, o campo decresce com o inverso de ρ .

E = R 2 2 ϵ 0 ρ

Assim podemos montar o gráfico.

Resposta

a )   O   c a m p o   n ã o   d e p e n d e   d e   ϕ   e   z     .

b )       E → = δ ρ 2 ϵ 0   ρ ^

c )    

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