Um cilindro sólido muito longo de raio R possui uma distribuição uniforme de carga positiva, sendo ρ a carga por unidade de volume. a Deduza uma expressão para o campo elétrico no interior do volume, a uma distância r do eixo do cilindro, em termos da densidade de carga ρ . b Qual é o campo elétrico em um ponto fora do volume, em termos da carga por unidade de comprimento λ do cilindro? c Compare os resultados dos itens a e b para r = R . d Faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância r , de r = 0 até r = 3 R .

Passo 1

Supondo uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r < R e comprimento l com o mesmo eixo que o cilindro, temos que o seu campo elétrico será dado através da carga por unidade de volume. Então, usando a equação do campo elétrico para uma linha infinita, teremos:

E A = Q ϵ 0

Onde a área é dada por:

A = 2 π r l

E a carga é dada através da densidade de carga:

ρ = Q V → Q = ρ π r 2 l

Portanto, o campo elétrico será dada por:

E = ρ π r 2 l 2 π r l ϵ 0 ∴ E = ρ r 2 ϵ 0

Com sentido para fora, pela carga ser positiva.

Passo 2

Agora, consideramos uma superfície gaussiana cilíndrica com raio r > R e comprimento l , ela terá uma densidade de carga por unidade de volume:

ρ = Q V → Q = ρ π R 2 l

Tal que, deixando a densidade volumétrica em função da densidade linear:

ρ = λ A = λ π R 2

Então, nesse caso, o campo elétrico será calculado por:

E = ρ π R 2 l 2 π r l ϵ 0 → E = λ π R 2 π R 2 l 2 π r l ϵ 0

∴ E = λ 2 π r ϵ 0

Com sentido para fora.

Passo 3

Se r = R , então para o primeiro caso, o capo elétrico será:

E 1 = ρ R 2 ϵ 0

E para o segundo caso:

E 2 = ρ π R 2 l 2 π r l ϵ 0 = ρ R 2 ϵ 0

Assim, ambos os campos elétricos são iguais e, logo, elas coincidem.

Passo 4

O gráfico que mostra esses resultados está mostrado a seguir:

Resposta

a   ρ r 2 ϵ 0

b   λ 2 π r ϵ 0

c   ρ R 2 ϵ 0

d

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