Enunciado
Física - Halliday - Vol 3- Ed: 4º - Capítulo 25.Exercícios e Problemas - Ex. 53
Na Fig. 25-41, uma casca esférica não condutora, com raio interno e raio externo , tem uma densidade volumétrica de carga , onde é constante e é a distância ao centro da casca. Além disso, uma carga puntiforme está localizada no centro. Qual deve ser o valor de para que o campo elétrico na casca tenha módulo constante? (Sugestão: depende de , mas não de .)
Passo 1
Fala galera, bora lá! O problema pede para determinar uma expressão para o campo elétrico dentro da casca em termos de e da distância ao centro da casca e, a seguir, determinar o valor de de modo que tal campo não dependa da distancia.
Para começar, vamos escolher uma Gaussiana esférica de raio , concêntrica com a casca esférica e localizada dentro da casca, com . Usando a lei de Gauss podemos determinar a magnitude do campo elétrico a uma distancia a partir do centro.
A carga contida somente sobre a casca dentro da Gaussiana é obtida através da integral
calculada sobre a porção da casca carregada que está dentro da Gaussiana. Como a distribuição de carga tem simetria esférica, podemos escolher como sendo o volume de uma casca esférica de raio e largura infinitesimal , o que nos fornece
Portanto, temos
Substituindo por
Resolvendo a integral
Assim, a carga total dentro da superfície Gaussiana é
Passo 2
O campo elétrico é radial, de modo que o fluxo através da superfície Gaussiana é
Onde é a magnitude do campo. Aplicando agora a lei de Gauss obtemos
de onde tiramos
Passo 3
Para que o campo seja independente de devemos escolher de modo que o primeiro e o último termo entre colchetes se cancelem. Isto ocorre se tivermos , ou seja, para
Quando então teremos para a magnitude do campo não dependente da distância.