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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 25.1 - Ex. 98

No circuito da Figura abaixo, C = 0 ,   120   μ F e ℇ = 100 V . A chave é girada para o contato b depois de ter estado no contato a por um longo tempo, e 4.00 s depois, a diferença de potencial no capacitor é igual a 1 2 ℇ . Qual o valor de R .

Passo 1

EAE GALERINHA, borá pra mais uma questão! Iremos (mais uma vez) procurar a resistência do circuito da imagem. Podemos achar a resistência do circuito através da razão entre o tempo constante e a capacitância; Expressaremos o tempo constante como uma função de tempo em termos V 0 e V ( t ) . Serão utilizadas as seguintes equações:

R = τ C (1)

V t =   I t R (2)

I t =   I 0   e - t / τ (3)

Equações de buenas, que todo mundo já conhece, então vamos por a mão na massa!

Passo 2

Vamos aplicar a equação 3 na equação 2:

V t =   I t R

V t = I 0   e - t / τ   R  

V t = ( I 0   R ) e - t / τ

V t = V 0   e - t / τ  

L n ( V t ) = L n ( V 0   e - t / τ )  

L n V t = L n e - t τ + L n ( V 0 )

L n V t = - t τ + L n ( V 0 )

L n V t - L n ( V 0 ) = - t τ

L n V t V 0 = - t τ

τ = - t L n V t V 0

Com isso, substituiremos o resultado do tempo constante na equação 1:

R = τ C

R = - t L n V t V 0 C

R = - t C   L n V t V 0

Encontrado a equação que representa a resistência, basta substituir as variáveis pelos dados estabelecidos na questão, lembrando que a diferença de potencial final do circuito é equivalente a metade da diferença de potencial inicial:

R = - t C   L n V t V 0

R = - 4.00   s ( 0.120   μ F )   L n 1 2   V 0   V 0

R = 48.1   M Ω

PRONTINHO, continuemos a nossa saga, EM BUSCA DA TAÇA! Até a próxima.

Resposta

R = 48.1   M Ω

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