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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 31.Problemas - Ex. 73

73 - Em um circuito R-L-C em série a corrente é dada por i = I cos ⁡ ω t . As amplitudes das voltagens através do resistor, do indutor e do capacitor são, respectivamente, V R ,   V L e V C .

  1. Mostre que a potência instantânea através do resistor é dada por p R = V R I cos 2 ⁡ ω t = 1 2 V R I 1 + cos ⁡ 2 ω t . O que essa expressão fornece para a potência média através do resistor?
  2. Mostre que a potência instantânea através do indutor é dada por p L = - V L I sin ⁡ ω t cos ⁡ ω t = - 1 2 V L I sin ⁡ 2 ω t . O que essa expressão fornece para a potência média através do indutor?
  3. Mostre que a potência instantânea através do capacitor é dada por p C = V C I sin ⁡ ω t cos ⁡ ω t = 1 2 V C I sin ⁡ 2 ω t . O que essa expressão fornece para a potência média através do capacitor?
  4. Na Seção 31.4, verificamos que a potência instantânea fornecida pela fonte é dada por p = V I cos ⁡ ω t cos ⁡ ϕ cos ⁡ ω t - sin ⁡ ϕ sin ⁡ ω t . Mostre que em qualquer instante o valor de p é dado pela soma p R + p L + p C .

Passo 1

L e t r a   A :

Ora, sabemos que a potência instantânea em um resistor é dada por...

p R = i 2 R   →

Então, substituindo a corrente...

p R = I 2 cos 2 ⁡ ω t R

Só que o módulo da tensão máxima em cima do capacitor é...

V R = R I

Então...

p R = V R I cos 2 ⁡ ω t  

Ainda considerando a propriedade trigonométrica de que...

cos 2 ⁡ a = 1 + cos ⁡ 2 a 2

Logo p R também pode ser dado por...

p R = 1 2 V R I   1 + cos ⁡ 2 ω t

Ora, potência média pode ser encontrada por...

P R = 1 T ∫ 0 T p R d t

Onde de 0 a T é o período de p R (que representa uma volta completa no cosseno, ou seja, cos ⁡ 2 ω T = cos ⁡ 0 = 1 ). Então...

P R = 1 T ∫ 0 T p R d t   →

P R = 1 T ∫ 0 T 1 2 V R I   1 + cos ⁡ 2 ω t d t   →

P R = 1 2 T V R I   ∫ 0 T 1 + cos ⁡ 2 ω t d t   →

P R = 1 2 T V R I   ∫ 0 T 1 d t + 1 2 V R I 1 T ∫ 0 T cos ⁡ 2 ω t d t

Só que a integral segunda...

1 T ∫ 0 T cos ⁡ 2 ω t d t

Representa a média do cosseno e que vale 0 sempre. Se você quiser provar isso, basta calcular a integral lembrando-se de que cos ⁡ 2 ω T = cos ⁡ 0 = 1 (Afinal de 0 a T , temos um período no cosseno). Então...

P R = 1 2 T V R I   ∫ 0 T 1 d t     →

P R = 1 2 T V R I   T - 0     →

P R = 1 2 V R I  

Passo 2

L e t r a   B :

Bem, a potência instantânea através do indutor é dada por...

p L = i ⋅ v L     →

Onde v L é a tensão instantânea em cima do indutor, dada pela derivada:

p L = i L d i d t

Substituindo-se i ...

p L = L I cos ⁡ ω t ⋅ d d t I cos ⁡ ω t     →

p L = L I 2 cos ⁡ ω t ⋅ d d t cos ⁡ ω t     →

Calculando-se a derivada, lembrando-se que ω é uma constante, logo aplicando a regra da cadeia...

p L = L I 2 cos ⁡ ω t ⋅ - ω sin ⁡ ω t     →

Como ω L representa-se a reatância X L ...

p L = - X L I 2 cos ⁡ ω t sin ⁡ ω t     →

E X L I por sua vez é a tensão em cima do indutor ( V L = X L I )...

p L = - V L I cos ⁡ ω t sin ⁡ ω t  

Considerando o seno de duplo arco da trigonometria...

sin ⁡ 2 a = 2 cos ⁡ a sin ⁡ a

Então...

p L = - 1 2 V L I sin ⁡ 2 ω t

Para calcular a potência média...

P L = 1 T ∫ 0 T p L d t

Novamente T representa um período do seno ( sin ⁡ 2 ω T = sin ⁡ 0 = 0 )...

P L = 1 T ∫ 0 T - 1 2 V L I sin ⁡ 2 ω t d t

Calculando-se a integral...

P L = - 1 2 V L I 1 T ∫ 0 T sin ⁡ 2 ω t d t

Novamente, essa integral representa a média do seno que também vale 0 :

P L = 0

O que faz sentido, pois indutor não consome energia ativa!

Passo 3

L e t r a   C :

Bem, a potência instantânea através do capacitor é dada por...

p C = i ⋅ v C     →

Onde v C é a tensão instantânea em cima do indutor dada por:

p C = i ⋅ 1 C ∫ i d t      

Substituindo-se i ...

p C = I cos ⁡ ω t ⋅ 1 C ∫ I cos ⁡ ω t d t       →

p C = I 2 cos ⁡ ω t ⋅ 1 C ∫ cos ⁡ ω t d t       →

Calculando-se a integral, lembrando-se que ω é uma constante...

p C = I 2 cos ⁡ ω t ⋅ 1 C sin ⁡ ω t ω       →

Como 1 / ω C representa-se a reatância X C ...

p C = X C I 2 cos ⁡ ω t sin ⁡ ω t     →

E X C I por sua vez é a tensão em cima do capacitor ( V C = X C I )...

p C = V C I cos ⁡ ω t sin ⁡ ω t  

Considerando o seno de duplo arco da trigonometria...

sin ⁡ 2 a = 2 cos ⁡ a sin ⁡ a

Então...

p C = 1 2 V C I sin ⁡ 2 ω t

Para calcular a potência média...

P L = 1 T ∫ 0 T p L d t

Novamente T representa um período do seno ( sin ⁡ 2 ω T = sin ⁡ 0 = 0 )...

P C = 1 T ∫ 0 T 1 2 V C I sin ⁡ 2 ω t d t

Calculando-se a integral...

P C = 1 2 V C I 1 T ∫ 0 T sin ⁡ 2 ω t d t

Novamente, essa integral representa a média do seno que também vale 0 :

P C = 0

O que faz sentido, pois o capacitor não consome energia ativa!

Passo 4

L e t r a   D :

Bem precisamos provar que isso aqui...

p = V I cos ⁡ ω t cos ⁡ ϕ cos ⁡ ω t - sin ⁡ ϕ sin ⁡ ω t   →

É de fato a potência total p representado pela soma p R + p L + p C . Então primeiro multiplicando...

p = V I cos ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ω t - V I sin ⁡ ϕ cos ⁡ ω t sin ⁡ ω t   →

E lembrando que cos ⁡ ϕ representa o fator de potência e que vale em termos de tensão...

cos ⁡ ϕ = V R V

E que sin ⁡ ϕ é...

sin ⁡ ϕ = V L - V C V

Então...

p = V I V R V cos 2 ⁡ ω t - V I V L - V C V cos ⁡ ω t sin ⁡ ω t   →

p = V R I cos 2 ⁡ ω t - V L I cos ⁡ ω t sin ⁡ ω t + V C I cos ⁡ ω t sin ⁡ ω t

Ou seja...

p = p R + p L + p C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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