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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 31.10 - Ex. 58

Em um circuito R L C série oscilante R = 16,0   Ω , C = 31,2   μ F , L = 9,20   m H e ε m = ε m s e n ( ω d t ) com ε m = 45,0   V e ω d = 3000   r a d / s . No instante t = 0,442   m s , determine (a) a taxa P G com a qual a energia está sendo fornecida pelo gerador; (b) a taxa P c com a qual a energia do capacitor está variando; (c) a taxa P L com a qual a energia do indutor está variando; (d) a taxa P R com a qual a energia está sendo dissipada no resistor. (e) A soma de P C ,   P L   e   P R é maior, menor ou igual a P G ?

Passo 1

A corrente no circuito CA pode ser escrita da seguinte maneira:

i t = I s e n ω d t - ϕ ,

onde I = ε m / Z . Vamos encontrar o valor de I para que possamos escrever a expressão da corrente completa? Partiu!

I = ε m R 2 + ω d L - 1 ω d C 2

I = 45,0   V 16,0   Ω 2 + 3000 r a d s 9,20   m H - 1 3000 r a d s 31,2   μ F 2

I = 1,93   A

O ângulo de fase ϕ pode ser calculado assim:

ϕ = tan - 1 ⁡ X L - X C R

ϕ = tan - 1 ⁡ ω d L - 1 ω d C R

ϕ = tan - 1 ⁡ 3000 r a d s 9,20   m H 16,0   Ω - 1 3000 r a d s 16,0   Ω 31,2   μ F

ϕ = 46,5 °

Na letra (a) nós queremos achar a potência fornecida pelo gerador no instante t = 0,442   m s . A potência é dada por:

P G = i t ε t = I s e n ω d t - ϕ ε m s e n ω d t

P G = 1,93   A 45,0   V s e n 3000 r a d s 0,442   m s - 46,5 ° s e n 3000 r a d s 0,442   m s

P G = 41 , 5 W

Passo 2

Como a tensão no capacitor é dada por:

v C t = V C s e n ω d t - ϕ - π 2 = - V C cos ⁡ ω d t - ϕ

A amplitude da tensão V C pode ser calculada por V C = I / ω d C . A taxa com a qual a energia do capacitor está variando é:

P C = d d t q 2 2 C = i q C = i v C

P C = - I s e n ω d t - ϕ I ω d C cos ⁡ ω d t - ϕ

P C = - I 2 ω d C s e n 2 ω d t - ϕ

P C = - 1,93   A 2 2 3000 r a d s 31,2 × 10 - 6   F s e n 2 3000 r a d s 0,442   m s - 2 46,5 °

P C = - 17,0   W

Passo 3

A taxa com a qual a energia do indutor está variando é:

P L = d d t 1 2 L i 2 = L i d i d t = L I s e n ω d t - ϕ d d t I s e n ω d t - ϕ

P L = 1 2 ω d L I 2 s e n 2 ω d t - ϕ

P L = 1 2 3000 r a d s 1,93   A 2 9,20 m H s e n 2 3000 r a d s 0,442   m s - 2 46,5 °

P L = 44,1   W

Passo 4

A taxa com a qual a energia está sendo dissipada no resistor é:

P R = i 2 R

P R = I 2 R s e n 2 ω d t - ϕ

P R = 1,93   A 2 16,0 Ω s e n 2 3000 r a d s 0,442   m s - 46,5 °

P R = 14,4   W

Passo 5

Vamos somar as potências no resistor, indutor e capacitor!

P R + P C + P L = 14,4   W - 17,0   W + 44,1 W

P R + P C + P L = 41,5   W

Podemos observar que o resultado encontra é igual a P G !

Resposta

  1. P G = 41,5   W ;
  2. P C = 17,0   W ;
  3. P L = 44,1   W ;
  4. P R = 14,4   W ;
  5. A soam é igual.
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