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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 23.1 - Ex. 56

Um círculo de raio a é removido do centro de um fino disco circular uniformemente carregado de raio b e carga por unidade de área σ . (a) Determine uma expressão para o potencial no eixo x a uma distância x do centro do disco. (b) Mostre que, para x ≫ b , o potencial elétrico no eixo do disco uniformemente carregado com o corte tende a k Q / x , onde Q = σ π b 2 - a 2 é a carga total no disco.

Passo 1

Fala aí galera, beleza?

(a) Vamos considerar uma pequena faixa, de raio r , do disco. Essa faixa possui uma carga d Q = 2 π r σ   d r , concorda (veja que um círculo de raio r possui área π r 2 , de modo que o diferencial da área será 2 π r   d r , logo a carga d q será essa área vezes a densidade superficial).

Sendo assim, essa pequena faixa irá produzir um potencial dado por:

d V = k d Q d

onde d = x 2 + r 2 . Integrando, temos

V = k   ∫ a b 2 π σ   r x 2 + r 2 d r = 2 π σ k   ∫ a b r x 2 + r 2 d r

Consultando uma tabela de integral, podemos escrever

V = 2 π σ k x 2 + b 2 - x 2 + a 2

Passo 2

(b) Note que podemos escrever:

V = 2 π σ k x 1 + b 2 x 2 - 1 + a 2 x 2

Usando a expansão binomial, poderemos escrever

V ≈ 2 π σ k x 1 + b 2 2 x 2 - 1 - a 2 2 x 2 V = π σ k x b 2 - a 2 = Q k x

onde Q = π σ b 2 - a 2 .

Resposta

  1. V = 2 π σ k x 2 + b 2 - x 2 + a 2 .
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