A condutividade de um cilindro de comprimento l e área transversal S cresce linearmente com a distância, assumindo o valor σ 0 numa extremidade e σ 1   na outra. Calcule a resistência total do cilindro.

Passo 1

A imagem a seguir ilustra a condutividade.

Como ele diz que a condutividade cresce linearmente, temos que

σ x = a x + b

Repare no gráfico dessa função! Com ela podemos achar o b e o a .

Sendo

a = σ 1 - σ 0 l    

b = σ 0

Passo 2

A variação infinitesimal da resistência com relação a posição d x pode ser escrita como

d R = 1 σ d x A  

Substituindo o σ , teremos

d R = d x A   σ 0 + σ 1 - σ 0 l x

Agora só precisamos integrar esse R no intervalo de 0 a l .

R = ∫ 0 l d x A   σ 0 + σ 1 - σ 0 l x

Passo 3

Galera essa integral pode ser resolvida usando uma substituição simples.

Usando uma substituição simples, temos

u = σ 0 + σ 1 - σ 0 l x

⇒ d u = σ 1 - σ 0 l d x

⇒ d x = l   d u σ 1 - σ 0

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R = l A σ 1 - σ 0 ∫ σ 0 σ 0 + σ 1 - σ 0 l d u u = 1 A σ 1 - σ 0 l n σ 1 σ 0

Pronto. Acabamos!

Resposta

R = 1 A σ 1 - σ 0 l n σ 1 σ 0

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