Enunciado
Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 22.1 - Ex. 35
Um cone circular reto imaginário (Figura 22.40) com ângulo de base e raio de base estão em uma região libre de cargas que tem um campo elétrico uniforme (linhas de campo são verticais e paralelas ao eixo do cone). Qual é a razão entre o número de linhas de campos por unidade de área entrando na base e o número de linhas por unidade de área entrando na superfície do cone? Use a lei de Gauss em sua resposta. (As linhas de campo na figura são apenas uma amostra representativa).
Passo 1
Fala ai galerinha ;)! Bem, essa questão quer que a gente calcule a razão entre o número de linhas por unidade de área que entram na base e o número de linhas por unidade de área que saem pela lateral.
Ora, pela lei de Gauss sabemos que o fluxo no cone, como um todo, é:
Mas... como não há nenhuma carga no interior do cilindro, devemos ter
Ou seja,
Porém, esse é o fluxo total, ou seja, é o fluxo que entra pela base do cone (positivo) e o fluxo que sai pela área lateral (negativo). Assim,
Dessa forma,
Passo 2
Beleza, mas não é exatamente isso que queremos. Queremos a razão entre os números de linha por unidade de área. Podemos que o número de linhas por unidade de área é dado por:
onde é uma constante de proporcionalidade, o fluxo e a área. Note que essa fórmula faz sentido... o número de linhas deve ser proporcional ao fluxo e a área (quanto maior a área, mais linhas vão passar)! Afinal, quanto maior o fluxo, maior deve ser o número de linhas passando pelo corpo, correto?
Dessa forma, temos
A área da base do cone é (círculo de raio ).
A área lateral do cone é .
Passo 3
Finalmente, dividindo e usando o fato que , temos
Resposta
A razão vale .