Enunciado

Considerando o valor de E y calculado no Problema 18.18, calcule a capacitância do capacitor visto na Figura 18.24.

Passo 1

No exercício anterior nós encontramos que o campo elétrico do sistema era dado por

E → y = - Q   d ϵ 0 A   d + κ d - 1 y y ^

Queremos achar a capacitância desse sistema e, para isso, temos que calcular a diferença de potencial entre a placa positiva e a placa negativa:

V + - V - = - ∫ - + E → ⋅ d l →

Considerando que a placa positiva está em y = d e a negativa em y = 0 , temos que

V + - V - = Q d ϵ 0 A ∫ 0 d 1 d + κ d - 1 y   d y

Passo 2

Para fazer essa integral, basta lembrar que

∫ 1 a + b x d x = 1 b ln ⁡ a + b x

Assim,

V + - V - = Q d ϵ 0 A ⋅ 1 κ d - 1 ln ⁡ d + κ d - 1 y 0 d

Ou ainda,

V + - V - = Q d ϵ 0 A ⋅ 1 κ d - 1 ln ⁡ d + κ d - 1 d - ln ⁡ d

Mas note que

ln ⁡ d + κ d - 1 d - ln ⁡ d = ln ⁡ d + ln ⁡ 1 + κ d - 1 - ln ⁡ d = ln ⁡ κ d

Portanto,

V + - V - = Q d ϵ 0 A ⋅ ln ⁡ κ d κ d - 1

Por fim, a definição de capacitância é

C = Q V + - V -

Logo,

C = ϵ 0 A d ⋅ κ d - 1 ln ⁡ κ d

Resposta

C = ϵ 0 A d ⋅ κ d - 1 ln ⁡ κ d

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