Considerando o valor de P y calculado no Problema 18.18, calcule o valor de ρ P y da densidade de carga de polarização dentro do dielétrico.

Passo 1

No exercício 18.18 nós encontramos que o vetor polarização do sistema era dado por

P → y = - Q   κ d - 1   y A   d + κ d - 1 y y ^

Nós queremos achar a densidade volumétrica de carga de polarização, dada por

ρ P = - ∇ ⋅ P →

Como P → aponta na direção y e só depende de y , temos que

ρ P = - d P d y

Ou ainda,

ρ P = Q κ d - 1 A d d y y d + κ d - 1 y

Passo 2

Vamos fazer a derivada usando a regra do quociente:

d d y y d + κ d - 1 y = 1 ⋅ d + κ d - 1 y - y ⋅ κ d - 1 d + κ d - 1 y 2

d d y y d + κ d - 1 y = d d + κ d - 1 y 2

Portanto,

ρ P = Q κ d - 1 d A d + κ d - 1 y 2

Resposta

ρ P = Q κ d - 1 d A d + κ d - 1 y 2

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