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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 13.1 - Ex. 61

Considera-se uma tubulação horizontal flexível para transportar água (ilustrada acima).

É necessária uma vazão mínima I v = 0,050 L / s . O tubo tem uma secção transversal circular de raio r 2 = 0,5 c m e outra de raio r 1 = 1,25 c m .

Coloca-se dois sensores de pressão P 1 e P 2 para medir as respectivas pressões das duas áreas distintas.

Os técnicos do laboratório informam que se a vazão cair para menos que 0,050 L/s o sistema pode sofrer superaquecimento e danificar-se, então é necessário programar um alarme que indique quando a vazão está abaixo desse valor.

Qual será a diferença de pressão crítica que devemos programar os sensores para enviar o alarme? É uma diferença de pressão mínima ou máxima?

Suponha um fluxo laminar não viscoso em estado estacionário.

Passo 1

Iremos usar a equação de Bernoulli para achar as relações de P 1 e P 2 :

P 1 + p g h 1 + 1 2 p v 1 2 = P 2 + p g h 2 + 1 2 p v 2 2

Notem que a questão nos informa que ambas as extremidades estão à mesma altura, portanto podemos cancelar a expressão p g h de ambos os lados da equação e passamos a ter:

P 1 + 1 2 p v 1 2 = P 2 + 1 2 p v 2 2

Como queremos a diferença de pressão, vamos encontrar a relação P 1 - P 2 :

P 1 - P 2 = 1 2 p v 2 2 - 1 2 p v 1 2

P 1 - P 2 = 1 2 p ( v 2 2 - v 1 2 )

Notem que ainda temos muitas variáveis, vamos tentar eliminar v 1 e v 2 , para isso, vamos transformar a expressão em uma fração, para podermos aplicar a equação da continuidade:

P 1 - P 2 = 1 2 p v 1 2 ( v 2 2 v 1 2 - 1 )

P 1 - P 2 = 1 2 p v 1 2 ( v 2 v 1 2 - 1 )

Passo 2

Agora iremos aplicar a equação da continuidade que nos garante que:

A 1 v 1 = A 2 v 2

v 2 v 1 = A 1 A 2 = π r 1 2 π r 2 2

Lembrando que: r = d 2

v 2 v 1 = π d 1 2 4 π d 2 2 4 = d 1 2 d 2 2

v 2 v 1 = d 1 d 2 2

Passo 3

Pela definição de vazão, temos que:

I v = A v

Logo:

v 1 = I v A 1 = I v π d 1 2 4

v 1 = 4 I v π d 1 2

Passo 4

Por último, vamos entrelaçar as equações encontradas:

P 1 - P 2 = 1 2 p v 1 2 ( v 2 v 1 2 - 1 )

v 2 v 1 = d 1 d 2 2

v 1 = 4 I v π d 1 2

Logo, teremos que:

P 1 - P 2 = 1 2 p 4 I v π d 1 2 2 ( d 1 d 2 2 2 - 1 )

P 1 - P 2 = 1 2 p 4 I v π d 1 2 2 ( d 1 d 2 4 - 1 )

Lembrando que:

p = 1.10 3 k g / m 3 (densidade da água).

1 L = 0,001 m 3

Agora, vamos substituir os valores fornecidos pela questão:

P 1 - P 2 = 1 2 p 4 I v π d 1 2 2 ( d 1 d 2 4 - 1 )

P 1 - P 2 = 1 2 ( 1.10 3 ) 4.5 . 10 - 5 π 0,025 2 2 ( 2,50 1,00 4 - 1 )

P 1 - P 2 = 196,02 P a

P 1 - P 2 = 0,2 k P a

Passo 5

Definindo P 1 - P 2 = ∆ P e ao compararmos:

∆ P = 1 2 p 4 I v π d 1 2 2 ( d 1 d 2 4 - 1 )

Percebemos que ∆ P ∝ I v 2 (leia ∆ P diretamente proporcional a I v 2 ) e como sabemos, as funções do tipo f x = + x 2 (dado um x qualquer) tem comportamento ilustrado abaixo:

Portanto, se ∆ P ∝ I v 2 , então P 1 - P 2 terá uma diferença de pressão mínima.

Resposta

∆ P = 0,2 k P a e será uma diferença de pressão mínima

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