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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 24.Exercícios e Problemas - Ex. 12

Considere o campo E → gerado por uma carga pontual. Mostre que ∇ ⋅ E → = 0 , exceto no ponto onde se situa a carga.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Você deve saber que o campo elétrico de uma carga pontual é

E → = q 4 π ϵ 0 ⋅ 1 r 2 r ^

Mas como r ^ = r → / r , temos que

E → = q 4 π ϵ 0 ⋅ r → r 3

Com isso, o divergente do campo elétrico será

∇ ⋅ E → = q 4 π ϵ 0   ∇ ⋅ r → r 3

Passo 2

No exemplo 24.2 do livro foi deduzido que

∇ ⋅ r → r n = 3 - n 1 r n

Com isso, usando n = 3 achamos

∇ ⋅ r → r 3 = 0

Portanto,

∇ ⋅ E → = 0

Porém é importante ressaltar uma coisa: essa relação é válida em todos os pontos, exceto na posição em que se encontra a carga. Observe que na posição da carga, temos r = 0 , de modo que o campo diverge e essa relação deduzida no exemplo 24.2 do livro deixa de valer.

Aqui vai um comentário extra se você estudar eletromagnetismo mais avançado algum dia da sua vida. A expressão correta é

∇ ⋅ r → r 3 = 4 π   δ r →

Essa função δ r → é a chamada delta de Dirac. Não precisa se preocupar com isso que é um assunto mais avançado, falei aqui só para quem se interessar um pouco mais sobre o assunto 😉.

Resposta

Demonstração.

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