Considere a colisão elástica entre duas partículas de massas m 1   e   m 2 que se movem em uma dimensão. (a) Verifique, a partir das (9.4.11), que a velocidade do CM se conserva na colisão. (b) Calcule as velocidades iniciais v ' 1 i e v 2 ' i das duas partículas em relação ao CM do sistema, exprimindo-as em função da velocidade relativa inicial v r i da partícula 2 em relação à partícula 1 e da massa total M = m 1 + m 2 . Qual é a relação entre v r i '   e   v r i ? (c) Faça o mesmo para as velocidades finais v 1 f '   e   v 2 f '   em relação ao CM, com auxilio das (9.4.11). Qual é a relação entre v r f '   e   v r f (a velocidade relativa final)? E entre v r f '   e   v r i ' ? (d) Interprete os resultados de (a) a (c), descrevendo como ocorre a colisão vista do referencial do CM .

Passo 1

  1. Vamos começar escrevendo as equações para os momentos numa colisão elástica
  2. m 1 v f 1 = m 1 m 1 - m 2 m 1 + m 2 v i 1 + m 1 2 m 2 m 1 + m 2 v i 2  

    Para o momento linear final da partícula 2 é só trocar os índices 1 por 2 e 2 por 1, saca só

    m 2 v f 2 = m 2 m 2 - m 1 m 1 + m 2 v i 2 + m 2 2 m 1 m 1 + m 2 v i 1  

    Beleza, agora se a velocidade do CM se conserva numa colisão é por que isso acontece

    V C M i = V C M f

    Substituindo os valores de massa e velocidade,

    m 1 v i 1 + m 2 v i 2 M = m 1 v f 1 + m 2 v f 2 M

      m 1 v f 1 + m 2 v f 2   = m 1 v i 1 + m 2 v i 2

    Já temos nossos valores de m 1 v f 1   e   m 2 v f 2 pelas 2 expressões do começo, vamos somá-las

    ( m 1 v f 1 ) + ( m 2 v f 2 ) =

    ( m 1 2 v i 1 - m 1 m 2 v i 1 + 2 m 2 m 1 v i 2 ) + ( 2 m 2 m 1 v i 1 - m 2 m 1 v i 2 + m 2 2 v i 2 ) m 1 + m 2

    Juntando todos os termos com m 1 v i 1   e   m 2 v i 2 e colocando em evidência ficamos com

    ( m 1 v f 1 ) + ( m 2 v f 2 ) =

    m 1 - m 2 + 2 m 2 m 1 v i 1 + 2 m 1 - m 1 + m 2 m 2 v i 2 m 1 + m 2

    = m 1 + m 2 m 1 v i 1 + m 1 + m 2 m 2 v i 2 m 1 + m 2

    = m 1 v i 1 + m 2 v i 2

    Opa, chegamos ao mesmo resultado de quando igualamos as velocidades do centro de massa, portanto provamos nossa hipótese inicial V C M i = V C M f .

    Passo 2

  3. Como v i r é a velocidade relativa de 2 em relação a 1 temos
  • v i r = v i 2 - v i 1
  • Como agora nosso referencial é o CM em movimento

  • v i 1 ' = v i 1 - V c m
  • v i 2 ' = v i 2 - V c m

Ok, então é só a gente achar V c m , substituir na fórmula e trocar v i 2 - v i 1 por v i r . A ideia é simples, só dá um trabalhinho algébrico, mas nada que nos assuste. Vem comigo!

V c m = m 1 v i 1 + m 2 v i 2 m 1 + m 2  

  • Para achar v i 1 ' colocamos esse valor acima de V c m
  • v i 1 ' = v i 1 m 1 + m 2 - m 1 v i 1 - m 2 v i 2 m 1 + m 2

    = m 1 v i 1 - m 1 v i 1 + m 2 v i 1 - m 2 v i 2 m 1 + m 2

    = m 2 v i 1 - v i 2 m 1 + m 2

    Show, usando a relação da velocidade inicial temos que v i 1 - v i 2 =   - v i r

    v i 1 ' = - m 2 v i r M

  • Para achar v i 2 ' fazemos
  • v i 2 ' = v i 2 m 1 + m 2 - m 1 v i 1 - m 2 v i 2 m 1 + m 2

    = m 1 v i 2 - m 1 v i 1 + m 2 v i 2 - m 2 v i 2 m 1 + m 2

    = m 1 v i 2 - v i 1 M

    = m 1 v i r M

    Passo 3

    Ainda temos que calcular a relação entre v i r '   e   v i r

  • Sabemos que v i ' r = v i 2 ' - v i ' 1 , valores que já temos. Supimpa!
  • Porém temos uma carta na manga, mesmo em relação ao centro de massa ainda é válido dizer que as velocidades relativas finais e inicias só trocam de sinal! Por exemplo, se antes se aproximavam do centro de massa agora se afastam do centro de massa, show!

    v i ' r =   v i 2 ' - v i ' 1

    = m 2 v i r M + m 1 v i r M

    = v i r m 1 + m 2 M

    = v i r

    Passo 4

  • Galera, aqui vamos fazer exatamente a mesma coisa que na letra anterior, só que a única diferença é que ao invés de usar v i r   ,   v i 1 '   ,   v i ' 2   vamos usar v f r   ,   v f 1 '   ,   v f ' 2 . Então eu quero que vocês lembrem que nós pegamos as velocidades e subtraímos de V C M , só que utilizamos V c m inicial , mass V c m   final é a mesma coisa que o inicial ! Ou seja, é literalmente só trocar os índices. Saca só
  • v i 1 ' = - m 2 v i r M
  • v f 1 ' = - m 2 v f r M

  • v i 2 ' = m 1 v i r M
  • v f 2 ' = m 1 v f r M

  • v i ' r = v i r

v f ' r = v f r

Pronto, agora pra saber a relação entre v i ' r e v f ' r   é só saber a relação entre v i r e v f r concorda? E a gente sabe que pela conservação de energia cinética v f r = - v i r . Então

v f ' r =   - v i ' r  

Passo 2

  • Por nossos resultados em a) e c) dá pra perceber que como o centro de massa continua com a mesma velocidade e as partículas colidem sobre ele no final da colisão. O único resultado possível é que elas se afastem dele na mesma quantidade em que estavam se aproximando!
  • Resposta

    b )   v i 1 ' = - m 2 v i r M   ,   v i ' 2 = m 1 v i r M   ,   v r i ' = v r i

    c )   v f r ' = v f r   ,       v f ' r =   - v i ' r  

    d )   S e   a p r o x i m a v a m   d o   C M   p a r a   d e p o i s   d a   c o l i s ã o   s e   a f a s t a r

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