1. Vamos começar escrevendo as equações para os momentos numa colisão elástica

Para o momento linear final da partícula 2 é só trocar os índices 1 por 2 e 2 por 1, saca só

Beleza, agora se a velocidade do CM se conserva numa colisão é por que isso acontece

Substituindo os valores de massa e velocidade,

Já temos nossos valores de pelas 2 expressões do começo, vamos somá-las

Juntando todos os termos com e colocando em evidência ficamos com

Opa, chegamos ao mesmo resultado de quando igualamos as velocidades do centro de massa, portanto provamos nossa hipótese inicial .

Passo 2

2. Como é a velocidade relativa de 2 em relação a 1 temos

Como agora nosso referencial é o CM em movimento

Ok, então é só a gente achar , substituir na fórmula e trocar por . A ideia é simples, só dá um trabalhinho algébrico, mas nada que nos assuste. Vem comigo!

• Para achar colocamos esse valor acima de

Show, usando a relação da velocidade inicial temos que

• Para achar fazemos

Passo 3

Ainda temos que calcular a relação entre

• Sabemos que , valores que já temos. Supimpa!

Porém temos uma carta na manga, mesmo em relação ao centro de massa ainda é válido dizer que as velocidades relativas finais e inicias só trocam de sinal! Por exemplo, se antes se aproximavam do centro de massa agora se afastam do centro de massa, show!

Passo 4

• Galera, aqui vamos fazer exatamente a mesma coisa que na letra anterior, só que a única diferença é que ao invés de usar vamos usar . Então eu quero que vocês lembrem que nós pegamos as velocidades e subtraímos de , só que utilizamos inicial , mass final é a mesma coisa que o inicial ! Ou seja, é literalmente só trocar os índices. Saca só

Pronto, agora pra saber a relação entre e é só saber a relação entre e concorda? E a gente sabe que pela conservação de energia cinética . Então