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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 2.1 - Ex. 112

Considere o movimento de uma partícula sujeita à aceleração variável dada por a x = a 0 x + b t , onde a 0 x e b são constantes e x = x 0 e v x = v 0 x , em t = 0 . (a) Encontre a velocidade instantânea como uma função do tempo. (b) Encontre a posição como uma função do tempo. (c) encontre a velocidade média para o intervalo de tempo com um tempo inicial igual a zero e um tempo final arbitrário t . (d) Compare a média das velocidades final e inicial com a sua resposta da parte (c). Essas duas médias são iguais? Explique.

Passo 1

(a) Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:

v x t = ∫ 0 t a x t d t

Substituindo a fórmula que foi dada no enunciado:

v x t = ∫ 0 t a 0 x + b t   d t

E lembrando que a constante deve representar a velocidade inicial, ficamos com:

v x t = a 0 x t + 1 2 b t 2 + v 0 x

Passo 2

(b) E para encontrar a posição só precisamos integrar mais uma vez:

x t = ∫ 0 t v x t d t

E substituindo com a função que acabamos de achar:

x t = ∫ 0 t a 0 x t + 1 2 b t 2 + v 0 x d t

Agora é só integrar e ajustar a constante (que deve representar a posição inicial):

x t = 1 2 a 0 x t 2 + 1 6 b t 3 + v 0 x t + x 0

Passo 3

(c) Agora vamos encontrar a velocidade média para um intervalo de tempo que vai de 0   s até um t qualquer.

Essa média precisa ser calculada com uma integral:

v m é d = 1 Δ t   ∫ t i t f v x t d t

v m é d = 1 ( t - 0 )   ∫ 0 t a 0 x t + 1 2 b t 2 + v 0 x   d t

Resolvendo essa integral;

v m é d = 1 t 1 2 a 0 x t 2 + 1 6 b t 3 + v 0 x t

v m é d = 1 2 a 0 x t + 1 6 b t 2 + v 0 x

Passo 4

Agora vamos comparar essa velocidade média com a média das velocidades instantâneas v ( 0 ) e v ( t ) :

v m é d ' = v 0 + v ( t ) 2

Mas v 0 é simplesmente v 0 x , e nós encontramos a função v t lá no passo 1 .

v m é d ' = v 0 x + a 0 x t + 1 2 b t 2 + v 0 x 2

v m é d ' = 1 4 b t 2 + 1 2 a 0 x t + v 0 x

Claramente as duas fórmulas são diferentes. Isso acontece porque a aceleração não é constante, e nesses casos esse último método não é garantido para calcular a velocidade média.

Resposta

(a) v x t = a 0 x t + 1 2 b t 2 + v 0 x .

(b) x t = 1 2 a 0 x t 2 + 1 6 b t 3 + v 0 x t + x 0 .

(c) v m é d = 1 2 a 0 x t + 1 6 b t 2 + v 0 x .

(d) As médias não são iguais.

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