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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 73

Uma corda esticada ao longo do eixo + O x possui uma extremidade livre no ponto x = 0 .

a) Fazendo um desenvolvimento semelhante ao usado na dedução da Equação (15.28), mostre que uma onda progressiva incidente y 1 x , t = A cos ⁡ ( k x + ω t ) produz uma onda estacionária y x , t = 2 A cos ⁡ ω t cos ⁡ k x .

b) Mostre que a onda estacionária obtida possui ventre na extremidade livre ( x = 0 ) .

c) Ache o deslocamento máximo, a velocidade máxima e a aceleração máxima na extremidade livre da corda.

Passo 1

Neste problema temos uma corda esticada que possui apenas uma das extremidades livres, ao fazer a corda oscilar produzindo pulsos, podemos ver um se formando na extremidade livre e outo na extremidade presa e este não está invertido.

Passo 2

a) O deslocamento da onda pode ser escrito da seguinte forma:

y x , t = y 1 x , t + y 2 x , t

O exercício nos fala que y 1 x , t = A cos ⁡ ( k x + ω t ) , já y 2 será y 2 x , t = A cos ⁡ ( k x - ω t ) , pois o pulso não inverte, mas se propaga no sentido contrário.

Então:

y x , t = A cos ⁡ ( k x + ω t ) + A cos ⁡ ( k x - ω t )

Aqui podemos aplicar a identidade trigonométrica que diz: cos ⁡ A ± B = cos ⁡ A + cos ⁡ B ∓ s e n   A   s e n   B . Desta maneira obtemos:

cos ⁡ k x + ω t = cos ⁡ k x cos ⁡ ω t - s e n   k x   s e n   ω t

cos ⁡ k x - ω t = cos ⁡ k x cos ⁡ ω t + s e n   k x   s e n   ω t

Desta forma, temos:

y x , t = A cos ⁡ k x cos ⁡ ω t - s e n   k x   s e n   ω t + cos ⁡ k x cos ⁡ ω t + s e n   k x   s e n   ω t

Os termos com seno se cancelam e com cosseno se somam, ficando:

y x , t = 2 A cos ⁡ ω t cos ⁡ k x

Passo 3

b) Como o exercício nos ajudou colocando x = 0 fica bem tranquilo mostrar que a onda estacionária possui um ventre nessa posição.

Substituindo x = 0 em y ( x , t ) obtemos:

y 0 , t = 2 A cos ⁡ ω t cos ⁡ k ⋅ 0 = 2 A cos ⁡ ω t

Desta maneira em x = 0 temos a maior amplitude, podemos verificar isso colocando t = 0 que é o tempo no qual começamos a oscilar a corda, sendo assim temos nessa posição um antinó (ventre).

Passo 4

c) O deslocamento máximo já foi obtido no item (b), que é y x , t = 2 A .

A velocidade máxima nos podemos encontrar derivando a posição em função do tempo e aplicar o ponto x = 0 .

Desta forma:

v = ∂ y ∂ t = ∂ 2 A cos ⁡ ω t cos ⁡ k x ∂ t = 2 A cos ⁡ k x   - s e n   ω t ⋅ ω

Fazendo x = 0 :

v = - 2 A ω   s e n   ω t

Logo essa velocidade será máxima quando s e n   ω t = - 1 , desta maneira a velocidade máxima é:

v = 2 A ω

Já a aceleração podemos fazer os mesmos passos mas para a derivada da velocidade. Sendo assim:

a = ∂ v ∂ t = ∂ - 2 A ω   s e n   ω t ∂ t = - 2 A ω cos ⁡ k x cos ⁡ ω t ⋅ ω

Fazendo x = 0 :

a = - 2 A ω 2 cos ⁡ ω t

Desta forma a aceleração máxima acontece quando cos ⁡ ω t = - 1 , desta maneira a aceleração máxima é:

a = 2 A ω 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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