a) As ondas que se propagam em sentidos contrários na Figura 15.20 se superpõem de tal modo que o deslocamento no ponto O é sempre igual a zero. Para provar matematicamente esse resultado para uma onda de forma arbitrária, considere uma onda se propagando da esquerda para a direita ao longo da corda na Figura 15.20 que no instante T é dada por onde é qualquer função de . (A forma de determina a forma da onda.) Se o ponto O corresponde ao ponto , explique por que no instante T a onda que se move da direita para a esquerda na Figura 15.20 é dada por .

b) Mostre que a onda obtida pela superposição das duas ondas é sempre igual a zero no ponto O, independentemente da forma da função .

c) As duas ondas que se propagam em sentidos contrários, como indicado no Figura 15.21, superpõem-se de tal modo que a indicação no ponto O é sempre igual a zero. Para provar matematicamente esse resultado para uma onda de forma arbitrária, considere novamente uma onda se propagando da esquerda para a direita na Figura 15.21 que, no instante T, é dada por .

d) Mostre que a onda obtida pela superposição das duas ondas possui sempre inclinação igual a zero no ponto O, independentemente da forma da função , desde que a derivada de primeira ordem dessa função seja finita.

a) Neste primeiro item queremos explicar o por que a onda no instante T que se move da direita para a esquerda é representada por por .

Isso acontece pois quando a onda chega no final e encontra alguma barreira ela vai se inverter, neste exemplo nosso seria a onda que está apontando para baixo então quando ela inverter irá apontar para cima (invertendo a função da onda), mas esta onda também irá sofrer uma reflexão, ou seja, agora ela irá se mover da esquerda para a direita (passando a ter uma posição ).

Tendo tudo isso em mente podemos dizer que a função será , pois inverteu a função e a posição do pulso.

b) Queremos verificar o seguinte resultado no ponto O, sabemos que

Independente do valor de .

Queremos verificar o resultado no ponto O, que é a origem do nosso sistema, logo .

Desta forma temos que:

c) Neste caso o pulso irá atingir um obstáculo e ele será refletido (mudando sua posição mas diferente da onda do item (a) ele não sofrerá uma inversão, o pulso continuará apontando para a mesma direção, logo sua função continua a mesma.

Desta maneira teremos .

d) Para mostrar que a onda sempre terá inclinação igual a zero no ponto O, vamos calcular a derivada de em relação a .

Caldulando a derivada:

Lembrando que não sabemos como varia com desta maneira podemos utilizar a regra da cadeia para facilitar o calculo da derivada. Desta forma: