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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.Problemas Desafiadores - Ex. 83

Uma corda uniforme de comprimento L e massa m é mantida fixa em uma das extremidades e gira em um círculo horizontal com velocidade angular ω . Despreze a força da gravidade sobre a corda. Calcule o tempo necessário para uma onda transversal se prpagar de uma extremidade da corda até a outra.

Passo 1

A tensão na corda irá variar com o raio e essa tensão deve fornecer a força necessária para a massa que está mais distante ( distância r) se manter acelerado para dentro.

A massa desta corda que está girando é dada por:

M = m L - r L

E o centro dessa massa se move em um círculo de raio:

R = L + r 2

Passo 2

Vamos agora calcular a tensão para qualquer ponto da corda.

T r = M ω 2 R = m L - r L ω 2 L + r 2 = m ω 2 2 L L 2 - r 2

A velocidade de propagação em função da distância é:

v r = d r d t = T r μ = T r L m = ω 2 L 2 - r 2

Onde d r d t > 0 pois a onda viaja do centro para a beira da corda.

Passo 3

Agora podemos separar as variáveis e integrar para calcular o tempo.

d t = 2 ω L 2 - r 2 d r

t = ∫ d t = 2 ω ∫ 0 L d r L 2 - r 2

Essa integral pode ser encontrada no apêndice do livro texto.

t = 2 ω ∫ 0 L d r L 2 - r 2 = 2 ω a r c s e n L L - 2 ω a r c s e n 0 L

t = 2 ω a r c s e n   1 - 0 = π ω 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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