Considere uma estrada molhada com inclinação lateral como no Exemplo 5.23 (Seção 5.4 ), no qual há um coeficiente de atrito estático de 0,30 e um coeficiente de atrito cinético de 0,25 entre os pneus e a estrada. O raio da curva é R = 50   m .

  1. Se o ângulo de inclinação lateral for   β = 25 ° qual é a velocidade máxima que um carro pode ter antes que ele deslize para cima do plano inclinado?
  2. Qual a velocidade mínima que um carro pode ter antes que ele deslize para baixo do plano inclinado?

Passo 1

Fala galera! Tudo bem? Essa questão parece difícil, mas vamos com calma!

Aqui temos um carro em uma curva inclinada, onde a normal n → (representada em laranja) está inclinada de β = 25 ° e temos também a força de atrito f a t → (que aponta na direção radial, pois essa seria a trajetória do carro, e está em azul). Não esqueça que o peso p → (em verde) sempre está presente e aponta para baixo.

O ângulo β é o ângulo que a normal faz com o eixo vertical, bem como a força de atrito, mas para baixo do eixo horizontal positivo. Dessa forma teremos essas duas forças com componentes horizontais e verticais. Vou colocar as componentes de forma tracejada para você visualizar melhor, saca só:

Assim na vertical vamos ter três forças: para cima a componente vertical da normal e para baixo a força peso e a componente vertical da força de atrito. Essas forças estão em equilíbrio, pois não há movimento do carro na vertical.

Na horizontal temos duas forças, e elas apontam para o mesmo lado: as componentes horizontais da força normal e da força de atrito. Elas compõem o movimento do carro e são iguais à força centrípeta, pois o carro está em movimento circular nesse momento, tranquilo?

Tranquilo até aqui? Agora vou colocar isso tudo em um sistema de coordenadas e vamos equacionar essas forças, ok?

Para as duas situações, vamos poder utilizar o mesmo sistema de coordenadas, só vamos prestar um pouco de atenção nos sinais, mas isso eu volto a lembrar você mais tarde =)

Passo 2

  1. Antes de achar a velocidade, precisamos achar a aceleração! Vamos usar essa fórmula aqui:
  2. a = v 2 R

    A aceleração é radial (por se tratar de um movimento curvilíneo) e aponta para o centro da trajetória que, nesse caso, aponta para a direita. Para achar a aceleração vamos precisar separar as componentes!

    A força normal n → tem componentes, vertical e horizontal:

    n y = n c o s β

    n x = n s e n β

    A força de atrito f a t → também tem duas componentes, vertical e horizontal:

    f a t y = f a t s e n β

    f a t x = f a t c o s β

    A última força a ser considerada é o peso,

    p = m g

    Fazendo os balanços das forças. Na direção vertical:

    n c o s β - f a t s e n β - m g = 0

    Lembrando que f a t = μ n , temos:

    n c o s β - n ( μ s e n β ) = m g

    n = m g c o s β - μ s e n β

    Na horizontal:

    n s e n β + μ n c o s β = m a

    n s e n β + μ c o s β = m a

    E juntando as duas relações teremos:

    m g c o s β - μ s e n β s e n β + μ c o s β = m a

    Agora vamos substituir os valores!

    Passo 3

    Como o ângulo β = 25 ° foi dado e o coeficiente de atrito é μ = 0,3 , ficou tranquilo determinar a aceleração:

    a = g s e n 25 + μ c o s 25 c o s 25 - μ s e n 25

    a = 9.8 s e n 25 + 0,3 c o s 25 c o s 25 - 0,3 s e n 25 = 8,73 m / s 2

    E agora podemos voltar lá para o passo anterior e resgatar a relação da aceleração e da velocidade:

    a = v 2 R

    A aceleração é 8,73 m / s 2 e o raio foi dado no enunciado e vale 50 m , agora é só substituir:

    v = a R = 8,73 ⋅ 50 = 21 m / s

    Passo 4

  3. Agora o diagrama de corpo livre dessa situação é igual ao da letra a ) , com a exceção que as componentes de f a t têm direções opostas! E aqui que temos que ter atenção nos sinais! As equações de força ficam as mesmas, a não ser pela mudança no sinal dos termos que contém μ . Assim, resgatando a expressão para a aceleração lá do passo anterior e fazendo a mudança de sinais teremos o seguinte:

a = g s e n 25 - μ c o s 25 c o s 25 + μ s e n 25 = 9,8 s e n 25 - 0,3 c o s 25 c o s 25 + 0,3 s e n 25 = 1,43 m / s 2

E a velocidade mínima:

v = a R = 1,43 ⋅ 50 = 8,5 m / s

Prontinho!

Resposta

a )   21 m / s

b )   8,5 m / s

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