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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 15.1 - Ex. 35

Deduza uma formula conveniente para a rapidez do som no ar a temperatura t em graus Celsius. Comece escrevendo a temperatura como T = T 0 + Δ T , onde T 0 = 273   K corresponde a 0 ° C e Δ T = t , a temperatura Celsius. A rapidez do som é uma função de T , v ( T ) . Em uma aproximação de primeira ordem, você pode escrever v T = v T 0 + d v T T Δ T , onde d v T T é a derivada calculada em T = T 0 . Calcule esta derivada e mostre que o resultado leva a

v = 331 m s 1 + t 2 T 0 = 331 + 0,606 t   m / s

Passo 1

Ele nos disse que a função que relaciona a velocidade do som com a temperatura é o seguinte:

v T = v T 0 + d v T T Δ T

Primeiro vamos relacionar a velocidade com a temperatura e depois fazer essa derivada que ele ta falando. Se liga só:

v = γ R T M

Derivando,

d v d T = 1 2 ⋅ 1 γ R T M ⋅ γ R M

Como queremos mostrar que d v v = 1 2 d T T . Podemos fazer d v / v olhá só:

d v v = 1 v ⋅ 1 2 ⋅ 1 γ R T M ⋅ γ R M d T

Usando que v = γ R T M :

d v v = 1 2 ⋅ 1 γ R T M ⋅ γ R M d T

Portanto,

d v d T = 1 2 ⋅ v ( T ) T

Passo 2

Quando T = T 0 :

d v d T = 1 2 ⋅ v ( T 0 ) T 0

Logo,

v T = v T 0 + 1 2 ⋅ v T 0 T 0 ⋅ Δ T

Passo 3

Colocando o fator v ( T 0 ) em evidencia:

v T = v T 0 1 + 1 2 T 0 ⋅ Δ T

Substituindo os valores, temos:

v = 331 m s 1 + 1 2 ⋅ 273   K ⋅ t

Portanto,

v = 331 + 0,606 t   m / s

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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