Enunciado

Deixa-se cair uma bola de chumbo de um trampolim situado 5,20   m acima da superfície da água de um lago. A bola atinge a água com uma certa velocidade e conserva a mesma velocidade até chegar ao fundo do lago, 4,80   s após começar a cair. (a) Qual é a profundidade do lago? Quais são o (b) módulo e (c) o sentido (para cima ou para baixo) da velocidade média da bola durante a queda?

Suponha que toda a água do lago seja drenada. A bola é agora lançada verticalmente do trampolim com uma certa velocidade inicial e novamente chega ao fundo em 4,80   s . Quais são o (d) o módulo e (e) o sentido da velocidade inicial da bola?

Passo 1

Este é um problema que será dividido em duas partes, primeiro vamos analisar o MRUV, que é a parte em que a bola de chumbo está em quedra livre e, em seguida, analisaremos a parte de MUV, que é a parte em que a bola de chumbo atinge o lago e se move com velocidade constante.

Para esta questão precisamos ter em mente as equações de queda livre:

y t = y 0 - g t 2 2

v t = - g t

v 2 = - 2 g ∆ y

Além disso, precisamos ter em mente também a equação do MUV:

y t = y 0 + v 0 t

Passo 2

Para calcular a profundidade do lago precisamos saber qual a velocidade que a bola atinge a superfície da água, portanto, aplicaremos a equação de Torricelli entre o instante inicial e o instante em que a bola atinge a superfície do lago. Consideraremos também a superfície do lago como ponto de altura y l = 0   e o ponto de partida como sendo y 0 = 5,2   m , logo:

v s 2 = - 2 × 9,8 × ( 0 - 5,2 )

Isolando v s :

v s = - 10,1   m / s

Passo 3

Com a velocidade que a bola chega na superfície do lago em mãos podemos determinar o tempo que a bola levou para atingir a superfície do lago usando a função da velocidade:

v t s = v s = - 10,1 = - 9,8 t s

Isolando t s :

t s = - 10,1 - 9,8 = 1,03   s

Como o enunciado nos diz que o tempo toda de queda da bola é t t o t a l = 4,8   s , podemos determinar o tempo de queda somente no lago subtraindo o t t o t a l do t s , assim:

t l = t t o t a l - t s = 4,8 - 1,03 = 3,77   s

Passo 4

Com o tempo que a bola levou para ir da superfície do lago até o chão ( t l ) e a velocidade com que a bola atingiu a superfície do lago ( v s ), podemos usar a função da posição do MUV considerando que a cota y = 0 seja o chão, assim:

y t = y 0 + v 0 t

y t l = 0 = y 0 - 10,1 t l

Substituindo o t l encontrado acima e isolando o y 0 :

y 0 = 10,1 × 3,77 = 38,1   m

Portanto, a profundidade do lago é 38,1   m .

Passo 5

Para determinar a velocidade média v m vamos lembrar que:

v m → = ∆ r → ∆ t

Então, para determinar o sentido de v m → basta determinar o sentido do ∆ r → :

Como o deslocamento é para baixo, então o sentido da velocidade média também é para baixo. O deslocamento total é ∆ y = 38,1 + 5,2 = 43,3   m e o tempo total de queda é ∆ t = 4,8   s . Logo,

v m = 43,3 4,8 = 9,02   m / s

Passo 6

Para este passo vamos usar a função da posição:

y t = y 0 + v 0 t - g t 2 2

Usando o y 0 já calculado no passo anterior: y 0 = 43,3   m e usando o tempo de queda t q = 4,8   s , temos:

0 = 43,3 + v 0 × 4,8 - 9,8 × 4,8 2 2

Isolando v 0 :

v 0 = 112,9 - 43,3 4,8 = 14,5   m / s

Como v 0 > 0 , então a velocidade aponta para cima.

Resposta

  1. y l = 38,1   m ;
  2. v m = 9,02   m / s ;
  3. P a r a   b a i x o ;
  4. v 0 = 14,5   m / s ;
  5. P a r a   c i m a .
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