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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 19.Exercícios e Problemas - Ex. 11

Demonstre que para a difusão de moléculas, descrita pela lei do decaimento exponencial, d r m s = 2   l .

Passo 1

Você deve ter visto na seção 19.7 do livro que o livre percurso médio é definido como o valor esperado de d i :

l = d i

Lembre-se que a d i representa a distância percorrida pela molécula entre duas colisões. É obvio que em cada trecho do percurso a molécula vai percorrer distâncias diferentes entre as colisões, mas esses valores seguiram uma distribuição de probabilidades e com isso é possível determinar seu valor esperado!

Por outro lado, o valor quadrático médio d r m s é definido como a raiz quadrada do valor esperado do quadrado de d i :

d r m s = d i 2

Como relacionar d i com d i 2 ? Essa é a pergunta que temos que responder nesse problema!

Passo 2

Na seção 19.3 foi apresentado que a probabilidade de o voo livre durar um tempo t era dada por

P t   ~   e - t / τ

Repare que não usei o sinal de igualdade pois é necessário fazer a normalização:

∫ 0 ∞ P t   d t = 1

Nós podemos associar o tempo de voo livre t com a distância percorrida x por

x = v t → t = x v

Assim,

P x   ~   e - x v τ

Para achar a constante de proporcionalidade nós escrever P x = A e - x v τ :

A ∫ 0 ∞ e - x v τ   d x = 1

Assim,

- v τ A e - x v τ 0 ∞ = 1 → v τ A = 1 → A = 1 v τ

Portanto,

P x = 1 v τ e - x v τ

Repare que estou usando a letra x no lugar de d para não ficar confuso dentro da integral!

Passo 3

Primeiro vamos achar o valor esperado de x :

l = x = ∫ 0 ∞ x P x   d x = 1 v τ ∫ 0 ∞ x e - x v τ   d x

Para fazer essa integral usamos integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Chamando u = x e d v = e - x v τ   d x , achamos

d u = d x             e             v = - v τ e - x v τ

Logo,

∫ 0 ∞ x e - x v τ   d x = - v τ x e - x v τ 0 ∞ + v τ ∫ 0 ∞ e - x v τ   d x

É fácil perceber que o primeiro termo será nulo de modo que

1 v τ ∫ 0 ∞ x e - x v τ   d x = ∫ 0 ∞ e - x v τ   d x

Mas essa integral do lado direito a gente já fez no passo 2 e viu que dá v τ :

l = 1 v τ ∫ 0 ∞ x e - x v τ   d x = v τ

Passo 4

Agora que já sabemos l = v τ , vamos calcular x 2 :

x 2 = ∫ 0 ∞ x 2 P x   d x = 1 v τ ∫ 0 ∞ x 2 e - x v τ   d x

Vamos usar integração por partes novamente:

u = x 2           e           d v = e - x v τ   d x       →       d u = 2 x   d x           e           v = - v τ   e - x v τ

Logo,

x 2 = 1 v τ - v τ x 2 e - x v τ 0 ∞ + 2 v τ ∫ 0 ∞ x e - x v τ   d x

O primeiro termo se anula de modo que

x 2 = 2 ∫ 0 ∞ x e - x v τ   d x

Mas essa integral já foi calculada no passo 3:

∫ 0 ∞ x e - x v τ   d x = v τ 2

Portanto,

x 2 = 2 v τ 2

Como d r m s = x 2 , temos que

d r m s = 2 v τ 2 = v τ 2

Como l = v τ , segue que

d r m s = l 2

Era isso que o exercício pedia para mostrarmos!

Resposta

Demonstração.

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