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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 24.Exercícios e Problemas - Ex. 19

Demonstre a equação da continuidade para as correntes de polarização

∇ ⋅ j → p + ∂ ρ P ∂ t = 0

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

O exercício quer que a gente prove a equação da continuidade para as correntes de deslocamento. Para isso, vamos seguir um roteiro bem parecido com o que foi feito na seção 24.12 do livro.

Vamos começar da equação 24.63:

∮ B → ⋅ d l = ∬ μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ t + μ 0 ∂ P → ∂ t + μ 0 j → ⋅ d S →

Usando o teorema de Stokes temos que

∮ B → ⋅ d l = ∬ ∇ × B → ⋅ d S →

Com isso, tiramos

∇ × B → = μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ t + μ 0 ∂ P → ∂ t + μ 0 j →

Passo 2

O próximo passo é tomar o divergente dos dois lados da equação:

∇ ⋅ ∇ × B → = ∇ ⋅ μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ t + μ 0 ∂ P → ∂ t + μ 0 j →

Como o divergente de um rotacional é nulo, temos que

∇ ⋅ μ 0 ϵ 0 ∂ E → ∂ t + μ 0 ∂ P → ∂ t + μ 0 j → = 0

Ou ainda, simplificando os fatores μ 0 :

ϵ 0   ∇ ⋅ ∂ E → ∂ t + ∇ ⋅ ∂ P → ∂ t + ∇ ⋅ j → = 0

Para o primeiro termo invertemos a ordem dos operadores:

∇ ⋅ ∂ E → ∂ t = ∂ ∂ t ∇ ⋅ E →

Usando a lei de Gauss na forma diferencial temos

∇ ⋅ E → = ρ ϵ 0 → ϵ 0   ∇ ⋅ ∂ E → ∂ t = ∂ ρ ∂ t

Além disso, sabemos que a densidade de corrente de polarização é

j → P = ∂ P → ∂ t

Com isso, a equação fica

∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j → P + ∇ ⋅ j → = 0

Lembre-se que j → é a corrente de cargas livres e j → P é de polarização!

Passo 3

O passo final é separar a carga em duas:

ρ = ρ L + ρ P

Assim, temos

∂ ρ L ∂ t + ∇ ⋅ j → + ∂ ρ P ∂ t + ∇ ⋅ J → P = 0

Mas na seção 24.12 foi deduzido que

∂ ρ L ∂ t + ∇ ⋅ j → = 0

Com isso chegamos na expressão que o exercício pediu para gente mostrar:

∂ ρ P ∂ t + ∇ ⋅ J → P = 0

Resposta

Demonstração.

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