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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 3- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 9

Demonstre as identidades (4.5.24) a (4.5.26).

Passo 1

Para resolvermos, vamos apenas aplicar o operador em cada caso e fazer contas...muitas contas, mas juntos tenho certeza que vamos conseguir. Bora lá!

Passo 2

Bom, vamos começar pela primeira demonstração: d i v (f * vec v) = f * d i v (vec v) + vec v * g r a d (f) . Vamos abrir essa contona ai! Temos que o divergente é definido como ((del)/(del x) , (del)/(del y) , (del)/(del z)) * vec v , aplicando então vamos ter:

(del)/(del x) (f * vec v) + (del)/(del y) (f * vec v) + (del)/(del z) (f * vec v) = (del f)/(del x) vec v + (del v_x)/(del x) f + (del f)/(del y) vec v + (del v_y)/(del y) f + (del f)/(del z) vec v + (del v_z)/(del z) f

Colocando agora nosso f e vec v em evidencia, temos que:

= f * ((del v_x)/(del x) + (del v_y)/(del y) + (del v_z)/(del z)) + vec v * ((del f)/(del x) + (del f)/(del y) + (del f)/(del z)) = f * d i v (vec v) + vec v * g r a d (f)

Como queriamos mostrar.

Passo 3

Para nossa segunda demonstração, temos que queremos provar

r o t (f vec v) = v ⃗ * r o t (vec v) + vec v * g r a d (f) xx vec v

Pra isso, vamos calcular a matriz determinante do rotacional. Temos que ela é dada por:

[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[f,*,v_x,f,*,v_y,f,*,v_z]] =

= [((del f)/(del y) v_z + (del v_z)/(del y) f) - ((del f)/(del z) v_y + (del v_y)/(del z) f)] * vec i - [((del f)/(del x) v_z + (del v_z)/(del x) f) - ((del f)/(del z) v_x + (del v_x)/(del z) f)] * vec j + [((del f)/(del x) v_y + (del v_y)/(del x) f) - ((del f)/(del y) v_x + (del v_x)/(del y) f)] * vec k

Colocando os termos em evidencia agora, vamos ter que

= f * [ ((del v_z)/(del y) - (del v_y)/(del z)) * vec i - ((del v_z)/(del x) - (del v_x)/(del z)) * vec j + ((del v_y)/(del x) - (del v_x)/(del y)) * vec k + (del f)/(del x) * (- v_x + v_y) + (del f)/(del y) * (v_z - v_x) + (del f)/(del z) * (v_x - v_y) = f * r o t (vec v) + g r a d (f) xx vec v .

Passo 4

Para nossa ultima demonstração, temos que queremos provar

d i v (vec u xx vec v) = vec v * r o t (vec u) - vec u * r o t (vec v)

Pra isso, vamos calcular a matriz determinante do rotacional. Temos que ela é dada por:

[[vec i,vec j,vec k],[u_x,u_y,u_z],[v_x,v_y,v_z]] =

= (u_y v_z - u_z v_y) * vec i - (u_x v_z - u_z v_x) * vec j + (u_x v_y - u_y v_x) * vec k

Aplicando agora o divergente, temos que o mesmo é escrito na forma ((del)/(del x) , (del)/(del y) , (del)/(del z)) . Realizando então o produto escalar, vamos ter

((del)/(del x) , (del)/(del y) , (del)/(del z)) * [(u_y v_z - u_z v_y) , (u_z v_x - u_x v_z) , (u_x v_y - u_y v_x)] =

= [((del u_y)/(del x) v_z + (del v_z)/(del x) u_y) - ((del u_z)/(del x) v_y + (del v_y)/(del x) u_z)] + [((del u_z)/(del y) v_x + (del v_x)/(del y) u_z) - ((del u_x)/(del y) v_z + (del v_z)/(del y) u_x)] + [((del u_x)/(del z) v_y + (del v_y)/(del z) u_x) - ((del u_y)/(del z) v_x + (del v_x)/(del z) u_y)] =

Colocando as componentes de   vec v e vec u em evidência, vamos ter que

v_x * ((del u_z)/(del y) - (del u_y)/(del z)) + v_y * ((del u_x)/(del z) - (del u_z)/(del x)) + v_z * ((del u_y)/(del x) - (del u_x)/(del z)) - u_x * ((del v_z)/(del y) - (del v_y)/(del z)) - u_y * ((del v_x)/(del z) - (del v_z)/(del x)) - u_z * ((del v_y)/(del x) - (del v_x)/(del z)) =

Se observarmos bem, toda essa equação nos parece um produto escalar do tipo:

= (v_x , v_y , v_z) * [((del u_z)/(del y) - (del u_y)/(del z)) , ((del u_x)/(del z) - (del u_z)/(del x)) , ((del u_y)/(del x) - (del u_x)/(del z))] - (u_x , u_y , u_z) * [((del v_z)/(del y) - (del v_y)/(del z)) , ((del v_x)/(del z) - (del v_z)/(del x)) , ((del v_y)/(del x) - (del v_x)/(del z))] =

Que nos dá então que:

= vec v * r o t (vec u) - vec u * r o t (vec v)

Como queriamos mostrar

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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