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Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 3 - Eletromagnetismo - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 29.4 - Ex. 47

A densidade de corrente J no interior de um fio cilíndrico longo de raio a = 3,1   m m é paralela ao eixo central e o módulo varia linearmente com a distância radial r de acordo com a equação J = J o r / a , em que J o = 310   A / m ² . Determine o módulo do campo magnético (a) para r = 0 ; (b) para r = a / 2 ; (c) para r = a .

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo certinho? 😁

Nesse problema temos um fio com densidade de corrente J e raio a .

A partir daí queremos determinar o modulo do campo magnético em r = 0 , r = a / 2 e em r = a .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

A lei de Àmpere é utilizada para determinar o campo magnético total de uma região que apresente algum tipo de simetria. De acordo com ela:

∮ B . d S = μ o i e n v

O círculo do sinal de integral indica que a integração do produto escalar B → ⋅ d S → deve ser realizada para uma curva fecahda, conhecida como amperiana. A corrente i e n v é a corrente total envolvida pela curva fechada. Essa corrente tamém pode ser escrita como:

i e n v = j ⋅ Á r e a ,

onde j é a densidade de corrente na curva fechada.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Para determinarmos o campo magnético em pontos situados no interior do fio, podemos usar uma amperiana de raio r por dentro do fio, conforme a figura abaixo.

Da lei de Àmpere:

∮ B . d S = B 2 π r B r = μ o i e n v 2 π r B r = μ o 2 π r ∫ 0 r J r 2 π r d r = μ o 2 π ∫ 0 r J o r a 2 π r d r

B r = μ o J o r 2 3 a

Para o r = 0 , temos o campo magnético igual a zero!

B 0 = μ o J o 0 2 3 a = 0

Para r = a / 2 , temos o seguinte valor para o campo magnético:

B a 2 = μ o J o a 2 2 3 a = 4 π × 10 - 7   T . m A 310 A m 2 3,1 × 10 - 3 2   m 2 3 3,1 × 10 - 3 m B a 2 = 1,0 × 10 - 7   T

B a 2 = 0,10   μ T

Para o r = a , temos:

B a = μ o J o a 3 = 4 π × 10 - 7   T . m A 310 A m 2 3,1 × 10 - 3   m 3 B a = 4,0 × 10 - 7   T

B a = 0,40   μ T

Entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

  1. B = 0 ;
  2. B = 0,10   μ T ;
  3. B = 0,40   μ T .
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