Derive f ′ para a frequência recebida por um observador movendo-se com velocidade v em direção a uma fonte estacionária de ondas eletromagnéticas.

Passo 1

Fala aee, tudo tranquilo??

Podemos iniciar essa derivação expressando o número de ondas recebidas pelo observador, no referencial da fonte, em um intervalo de tempo Δ t :

n = c + v ∆ t f λ

Como c = λ f → λ = c / f :

n = c + v f o ∆ t f c

Agora, podemos relacionar esse intervalo de tempo ao intervalo de tempo no referencial de repouso do observador para completar a derivação da Equação 39-16a:

∆ t o = ∆ t f γ

Dessa forma, a frequência recebida pelo observador é:

f ' = n ∆ t o

Substituindo:

f ' = c + v f o ∆ t f c ∆ t f γ

Agora, vamos simplificar umas coisinhas:

f ' = γ c + v f o ∆ t f c ∆ t f

f ' = γ c + v f o c = γ c c + v c f o

f ' = γ 1 + v c f o

Substituindo γ :

f ' = 1 + v c 1 - v 2 c 2 f o

Vamos abrir um produto notável agora:

1 - v 2 c 2 = 1 + v c 1 - v c

Assim:

f ' = 1 + v c 1 + v c 1 - v c f o

Simplificando 1 + v c com 1 + v c = 1 + v c 1 2 :

f ' = 1 + v c 1 - v c f o = 1 + v c 1 - v c f o

Vamos multiplicar em cima e embaixo por 1 - v c para tirar essa raiz do denominador:

f ' = 1 + v c 1 - v c 1 - v c 1 - v c f o

f ' = 1 + v c 1 - v c 1 - v c 1 - v c f o

  f ' = 1 + v c 1 - v c 1 - v c 2 f o

Agora, vamos tirar o denominador da raiz e, também, calcular o produto notável no numerador:

f ' = 1 - v 2 c 2 1 - v c f o

Prontinho!! Acabou! Chegamos aonde queríamos.

Resposta

Explicação no passo a passo.

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