Determine a soma y das seguintes funções:

y_1 = 10 s e n omega t e y_2 = 8,0 s e n ( omega t + 30 ° )

Passo 1

A questão fornece duas ondas de mesma frequência e quer que achemos a sua soma. As funções de onda podem ser escritas como

psi_1 = A_1 s e n ( omega t )

psi_2 = A_2 s e n ( omega t + varphi )

Onde,

A_1 = 10 , A_2 = 8,0 e varphi = 3 0 °

Passo 2

Queremos somar as ondas usando o método dos fasores. Genericamente, temos a seguinte situação:

Note que a primeira função de onda está na direção horizontal, de modo que podemos escrever ela vetorialmente como

vec psi_1 = A_1 hat x

Já para a segunda função:

vec psi_2 = A_2 cos varphi hat x + A_2 s e n varphi hat y

Somando as duas:

vec psi = vec psi_1 + vec psi_2 = (A_1 + A_2 cos varphi) hat x + A_2 s e n varphi hat y

Passo 3

A amplitude resultante é obtida tomando o módulo de vec psi_1 + vec psi_2 :

A = |vec psi_1 + vec psi_2| = sqrt((A_1 + A_2 cos varphi)^2 + (A_2 s e n varphi)^2)

Desenvolvendo a expressão, encontramos

A = sqrt(A_1^2 + A_2^2 cos^2 varphi + 2 A_1 A_2 cos varphi + A_2^2 s e n^2 varphi)

Portanto,

A = sqrt(A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 cos varphi)

Logo,

A = sqrt((1 0)^2 + (8 , 0)^2 + 2 * 10 * 8 , 0 * cos 3 0 °) = sqrt(100 + 64 + 160 * (sqrt(3))/(2))

Assim,

A = 17,4

Passo 4

Sabemos que a função de onda resultante pode ser escrita como

psi = A s e n (omega t + beta) ,

onde beta é dado por

tan beta = (A_y)/(A_x) = (A_2 s e n varphi)/(A_1 + A_2 cos varphi) = (8,0 * (1)/(2))/(10 + 8,0 * (sqrt(3))/(2)) = 0,236

Portanto,

beta = 13,3 °

Assim, a função resultante será

psi = 17,4 s e n (omega t + 13,3 °)

Resposta

17,4 s e n (omega t + 13,3 °)

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