19. Devido à variação de temperatura, pressão e salinidade, a densidade ρ da água do mar aumenta com a profundidade h segundo a lei de ρ = ρ 0 + c h , onde ρ 0 é a densidade na superfície e c é uma constante positiva. Calcule a pressão a uma profundidade h .

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha de hidrostática nesse maravilhoso e complicado livro de Física.

Bom! Sabemos que a densidade de força volumétrica é igual ao gradiente de pressão, isto é:

f = ∇ P

Só que para o fluido em questão do nosso problema, a única força volumétrica atuando é a gravitacional, que é o produto da densidade do fluido pela gravidade. Assim...

f = ∇ P = p g

Passo 2

Agora, vamos pensar um pouco! A pressão varia com a densidade? Não, né!

Ela varia com a gravidade?

A resposta também é não! Mas e com a altura?

Aí sim! A pressão é extremamente dependente da altura. Por que isso foi posto em a pauta?

Ora bolas, se temos variações de um componente, isso aí tá cheirando a integral. Como a pressão só varia com a altura, desconsiderando qualquer uniformidade presente, temos que:

d P = ρ g d h

Só que do enunciado, sabemos que ρ = ρ 0 + c h . O que nos leva até:

d P = ( ρ 0 + c h ) g d h

Integrando de 0   até h e de P 0   até P , chegamos ao resultado:

∫ P 0   P d P = ∫ 0 h ( ρ 0 + c h ) g d h

P - P 0 = ρ 0 g h + c g h 2 2 0 h

P = P 0 + ρ 0 g h + c g h 2 2

Essa é a nossa resposta!

Resposta

P = P 0 + ρ 0 g h + c g h 2 2

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