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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 12.Exercícios e Problemas - Ex. 76

Um disco de 5,0 kg e 60 cm de diâmetro gira em torno de um eixo que passa pela borda do disco. O eixo é paralelo ao piso.

O disco é mantido com seu centro de massa na altura do eixo e, depois, é liberado.

a. Qual é a aceleração angular inicial do cilindro?

b. Qual é a velocidade angular do cilindro quando ele estiver diretamente abaixo do eixo?

Passo 1

O disco é um corpo rígido girando em um eixo que passa por uma borda. A energia potencial gravitacional é transformada em energia cinética rotacional quando o disco é liberado.

Vamos visualizar:

Colocamos a origem do sistema de coordenadas a uma distância R logo abaixo do eixo. Na posição inicial, o centro de massa do disco está no mesmo nível do eixo. O centro de massa do disco na posição final é coincidente com a origem do sistema de coordenadas.

Passo 2

  1. O torque é devido à força gravitacional no disco atuando no centro de massa. Portanto

    2. τ = m g R = ( 5   k g ) ( 9,8   m / s 2 ) ( 0,30   m ) = 14,7   N ⋅ m

    O momento de inércia sobre a borda do disco é obtido usando o teorema do eixo paralelo:

    I = I c m + m R 2 = 1 2 m R 2 + m R 2 = 3 2 m R 2

    Substituindo valores:

    I = 3 2 5   k g 0,30   m 2 = 0,675   k g ⋅ m 2

    Passo 3

    Agora que temos τ e I , podemos calcular α :

    α = τ I = 14,7   N ⋅ m 0,675   k g ⋅ m 2 = 22   r a d / s 2

    Passo 4

  2. A equação de conservação de energia K f + U g f = K i = U g t é:

1 2 I ω 1 2 + m g y 1 = 1 2 I ω 0 2 + m g y 0

⇒ 1 2 I ω 1 2 + 0   J = 0   J + m g R

ω 1 = 2 m g R I = 2 ( 5   k g ) ( 9,8   m / s 2 ) ( 0,30 m ) 0,675   k g ⋅ m 2 = 6,6   r a d / s

Uma velocidade angular de 6,6   r a d / s (ou   1,05   r o t a ç õ e s / s ) à medida que o centro de massa do disco atinge abaixo do eixo é razoável.

Resposta

α = 22   r a d / s 2

ω 1 = 6,6   r a d / s

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