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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 12.Exercícios e Problemas - Ex. 73

Suponha que o túnel de conexão do Exemplo 12.11 tenha uma massa de 50.000 kg.

a. A que distância do foguete de 100.000 kg se encontra o centro de massa da estrutura inteira?

b. Qual é a velocidade angular da estrutura após 3,0 s?

Passo 1

Toda a estrutura é um corpo rotativo rígido. As duas forças de empuxo são um par que exerce um torque na estrutura em torno de seu centro de massa. Vamos assumir que as forças de empuxo são perpendiculares ao túnel de conexão.

Vamos consultar a Figura 12.30 do livro texto. Escolhemos um sistema de coordenadas no qual m 1 e m 2 estão no e i x o   x   e m 1 = 100.000   k g está na origem. m 3 é a massa do túnel, cujo centro está em x 3 = 45   m .

Passo 2

  1. Supondo que o centro de massa do túnel esteja no centro do túnel, obtemos

    2. X c m = m 1 X 1 + m 2 X 2 + m 3 X 3 m 1 + m 2 + m 3

    Substituindo pelos valores, temos que:

    X c m = 1 × 10 5   k g ⋅ 0 m + 2 × 10 5   k g ⋅ 90 m + 5 × 10 4   k g ⋅ 45   m 1 × 10 5   k g + 2 × 10 5   k g + 5 × 10 4   k g = 57,9   m

    O centro de massa de toda a estrutura fica a 57,9   m do foguete de 100.000   k g .

    Passo 3

  2. Inicialmente, a velocidade angular é zero. A velocidade angular da estrutura após 30 s é

ω 1 = ω 0 + α t 1 - t 0 = 0   r a d / s + α ( 30 s - 0 s ) = α ( 30 s )

A aceleração angular α pode ser encontrada em τ   =   I α , onde τ é o torque líquido na estrutura e I é o seu momento de inércia. Os dois impulsos formam um par com torque

τ = I F = 90 m ⋅ 50,000 N = 4,50 × 10 6   N ⋅ m

Passo 3

Para calcular I fazemos:

I = I m 1 + I m 2 + I t ú n e l

⇒ I = m 1 x 1 2 + m 2 x 2 2 + 1 12 m 3 90 m 2 + m 3 58 m - 45 m 2

⇒ I = 1,0 × 10 5   k g 57,9 m 2 + 2,0 × 10 5 k g 32,1   m 2 + 1 12 5 × 10 4   k g 90 m 2 + 5 × 10 4   k g 13 m 2

E agora que temos τ e I podemos calcular α :

α = τ I = 4,5 × 10 6   N ⋅ m 5,83 × 10 8   k g ⋅ m 2 = 7,71 × 10 - 3   r a d / s 2

E finalmente,

ω 1 = 30 s ⋅ ( 7,71 × 10 - 3   r a d / s 2 ) = 0,23   r a d / s

Observe que o teorema do eixo paralelo foi usado para encontrar o momento de inércia do túnel.

Resposta

  1. 57,9   m
  2. 0,23   r a d / s
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